GENERALITÀ SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 15 



Ritornando ora alle equazioni differenziali in generale, mi 

 propongo di far vedere come, seguendo la via indicata, si pos- 

 sano studiare facilmente altre proprietà degli integrali, le quali 

 furono oggetto di recenti ricerche. 



Le equazioni (1) si possono ridurre all'equazione unica 



^=f(t,x), (V) 



ove X e un complesso d'ordine n, ed f una funzione complessa 

 della variabile reale t e del complesso x. 



La condizione introdotta dal Lipschitz, di cui già si è par- 

 lato, è che esistano n^ quantità positive Cy, in modo che per 

 ogni valore dì t, dì x e di x' nel campo considerato, si abbia 

 sempre 



mod [/■ (t, Xi . . . Xn) — fi (ti , j?i' . . . xj)] < 

 Cii mod {xi — Xi) -{- c,2 mod (xg' — X2) -\- . . . -{- Ci,, mod {x„' — a?„). 



Essa, introdotti i numeri complessi, equivale all'esistenza d'un 

 numero positivo p tale che si abbia 



mod [{/", t, x) — f{t, x')] < p mod {x — x'). (2) 



Ciò posto, siano x ed x' due integrali della (l'). Si avrà 



d {x — x') 



dt 



f{t,x)-f{t,x'). 



Prendiamo i moduli d'ambo i membri; tenendo conto che la 

 derivata d'un modulo è minore o eguale al modulo della deri- 

 vata, e tenendo conto dell'ipotesi di Lipschitz, si avrà 



j- < p mod {x — X). (3) 



Questa diseguaglianza differenziale si integra come la corri- 

 spondente equazione; per non dividere per fattori che possono 

 essere nulli, la si moltiplichi pel fattore integrante e-p('-'o). 

 Se t > to, si deduce 



mod {x — x') < eP('-'o) mod {xq — Xq') , (4) 



ove Xq ed Xq indicano i valori di x ed x' per f = to. 



Atti della R. Accademia — Voi. XXXIII. 4 



