16 GIUSEPPE PEANO 



Se ora i due integrali x ed x' hanno lo stesso valore ini- 

 ziale, sarà X(^ = Xq ; onde, dalla (4), si ha x = x' ; così risulta 

 provata l'unicità dell'integrale, datone il valore iniziale. (Nel 

 mio lavoro del 1892 questa dimostrazione è tradotta in modo 

 da non far uso dei numeri complessi). 



Se invece nella (4) suppongo Xq fisso, ed Xq variabile ten- 

 dente ad Xq, sarà lim {xq — %')= 0, onde anche lim {x — x')=0; 

 cioè l'integrale x è funzione continua del suo valore iniziale Xq. 



Quest'ultimo risultato è dovuto al D"^ 0. Niccoletti, il quale, 

 nella Nota " Sugli integrali delle equaziotii differenziali ordinarie, 

 considerati come funzioni dei loro valori iniziali „ (Rendiconti Acc. 

 Lincei, 15 dicembre 1895), lo dedusse dalla menzionata dimo- 

 strazione del Picard sull'esistenza dell' integrale. Si vede che 

 esso si poteva ottenere pure facilmente dalla mia del 1890. 



Il D'" Niccoletti si dimostra, nei suoi scritti, giovane di 

 molto ingegno e valore; e questa è la ragione che mi spinge 

 a pubblicare questa Nota, per riesaminare le sue proposizioni. 

 L'A. in seguito studia la derivabilità degli integrali delle equa- 

 zioni differenziali proposte, rispetto ai loro valori iniziali. Ma, 

 oltre al supporre l'esistenza e la continuità delle derivate par- 

 ziali dei secondi membri delle equazioni date, l'A. è ancora stato 

 obbligato, dal procedimento seguito, a supporre che queste de- 

 rivate parziali soddisfino a condizioni analoghe a quelle che il 

 Lipschitz aveva supposte per le funzioni ; mentrechè 1' esame 

 diretto della questione non solo ci fa vedere non necessarie 

 queste condizioni, ma ci fornisce equazioni che determinano le 

 derivate cercate. 



Infatti, suppongasi che il valore iniziale Xq di x dipenda da 

 una nuova variabile reale u, ed abbia derivata dxQ j du. Anche 

 l'integrale x dipenderà da u. Dato ad u un incremento Au, e 

 detto Ax l'incremento di x, si avrà 



^^E±^=f(t,x + A^). (5) 



Sottraendo la (1) 



dAx 



dt 



f{t,x-hAx)-f{t,x). (6) 



