GENERALITÀ SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 17 



Chiamasi J)f{t,x) la derivata del complesso f{t, x) fatta 

 rispetto al complesso x. Cosa si intenda per derivata d'un com- 

 plesso rispetto ad un complesso variabile è detto nel mio " Cal- 

 colo Geometrico „, a. 1888, p. 151. Qui basti osservare che con 

 'Df{t,x) si può intendere la sostituzione rappresentata dalla 

 matrice formata colle derivate ài f^f^ ... f„ rispetto ad x^ ... x„. 

 Pel teorema di calcolo, sull'incremento d'una funzione, esteso 

 ai numeri complessi, la (6) si trasforma in 



^ = [Medio Df{t,x + eAx)] Ax , (7) 



poiché l'incremento d'una funzione complessa si ottiene molti- 

 plicando l'incremento della variabile per un valore medio fra 

 quelli assunti dalla derivata (che non sempre è un valore della 

 derivata). 



Dividendo per A« si ha: 



^^ = [Medi«Df(*,., + 9Ax)]|f. (8) 



Questa è un'equazione differenziale lineare in -^ , il coefficiente 

 dipende ancora da Ax. Quindi si avrà 



^^ = E[MedioD/'(^a; + eA^), ^o,^]^- 



Facciasi tendere Au a 0; Axq I Au ha per limite dxoldu per 

 ipotesi. A^' tende a zero, come si è già dimostrato; Medio D/" 

 {t, x-\-BAx) tende a J)f{t,x), e vi tende uniformemente, qua- 

 lunque sia t, a causa della continuità di questa derivata. Nella 

 serie E si può passare al limite prendendo il limite dei singoli 



termini; quindi esiste il limite di -r— , che vien dato dalla for- 



mula 



|f = E[Df(«,a.U„,«]f». 



Dicasi variazione di x, e si indichi con bx, la derivata di 

 X rispetto ad u. Il considerare le variazioni come derivate pre- 

 senta alcuni vantaggi sul metodo ordinario di considerarle come 



