su UN PROBLEMA RELATIVO ALLE INTERSEZIONI, ECC. 21 



ed il ramo t del 3" ordine si potrà rappresentare con serie di 

 potenze intere crescenti di un parametro t così (*): 



x = af'-\-..., y=zbf-\-..., z = cf-\-..., 



ove e =# 0. Per avere la multiplicità d'intersezione di F e t in 

 sostituiamo queste serie in F. Allora, se si rappresenta con 

 pz^ il termine di q>s contenente la sola z, il termine più basso 

 rispetto a t nel risultato della sostituzione sarà pcH^. Si con- 

 clude che la multiplicità d'intersezione è veramente 9 in gene- 

 rale ; e sarà maggiore di 9 solo quando p = 0, cioè quando la 

 tangente in a t sia una tangente singolare (quadripunta) di F. 



E strano che il sig. Del Pezzo non abbia fatto egli stesso 

 questa verifica; e quindi abbia ripetuto, e tentato di dimostrare, 

 che quelle intersezioni sono 10 : attribuendo invece il mio ri- 

 sultato ad una strana allucinazione (così egli si esprime!), che 

 m'avrebbe fatto danzare costantemente innanzi agli occhi quel 

 fatale numero 9!! Ben è vero che egli ammette ora che effet- 

 tivamente in un certo caso quel numero d'intersezioni si riduca 

 a 9: si tratta, in sostanza, del caso che il ramo di terz'or- 

 dine T abbia col piano osculatore oj un incontro, non solo 5-punto 

 come in generale, ma 6-punto (il coefficiente a di sopra sia = 0). 

 Ma come mai non s'è egli accorto della assurdità di questo suo 

 risultato, che la multiplicità d'intersezione possa diminuire pas- 

 sando dal caso generale a quel caso particolare? 



Se ora ci facciamo a ricercare il difetto del ragionamento 

 con cui egli ottiene il numero 10 pel caso generale, osserviamo 

 che egli, applicando ad F e t una trasformazione quadratica, 

 le riduce ad una superficie F' toccata da un piano uu' lungo 

 una retta s', e ad una curva t' che passa semplicemente per 

 un punto T' di s' toccandovi questa retta ed osculando il piano 

 tu'. E poi si basa su ciò che, secondo lui, F' e t' avranno al- 

 lora in T' quattro intersezioni. Orbene quelle intersezioni invece 

 sono soltanto tre! Né vale l'invocare, come fa il sig. Del Pezzo, 

 una cert' altra proposizione; la quale sarebbe applicabile se f' 

 giacesse nel piano uu', ma non nell'attuale caso, più generale. 



(*) V., ad esempio, Halphen, Sur les singularités des courbes gauches 

 algébriques. " BuUetin Société mathém. de Prance ,, t. 6 (1877). 



