24 EUGENIO BERTINI 



invece due poli hanno lo stesso gruppo polare, questo è gruppo 

 polare di qualsiasi elemento e quindi anche, quando il gruppo 

 fondamentale non fosse un elemento w^p'", di ogni suo elemento 

 ^npio (l < r < n); e siccome tale elemento sarebbe pure r'^P^° per 

 il gruppo polare, si avrebbe l' assurdo che a questo gruppo 

 apparterrebbero tutti gli elementi del gruppo fondamentale. 



Adunque, esclusi gli elementi w"p^', rispetto a qualsiasi 

 altro gruppo fondanientale di n elementi, la corrispondenza fra 

 i poli e i gruppi polari è una proiettività non degenere. Segue 

 che, se due gruppi fondamentali ammettono la stessa involu- 

 zione (non indeterminata) di gruppi polari, fra i due poli di 

 ognuno di tali gruppi rispetto ai due gruppi fondamentali, sus- 

 siste pure una proiettività non degenere. Se tale proiettività 

 ha due elementi uniti distinti, si rappresenti colle formole 

 y^ z= azi , ^2 = ^^2- Allora, indicando /"= 0, qp = i due gruppi 

 fondamentali di n elementi, dovrà essere identicamente 



donde 



Escluso a = b, che condurrebbe alla coincidenza dei due gruppi 

 fondamentali, rimane -—- — = 0, e quindi deve essere 



cp = Ax'l -f- BiCg. 



Che se la suddetta proiettività è con un solo elemento unito, 

 si hanno invece le formole: 



> , òf òqp I X òqp df òq) 



yi = a^i, y2 = ^^x + az,; ^ = « — -[- X — , ^^^ = a — : 



dalle quali (escludendosi che sia -~-=0, --?- = 0) segue r-F-=0 



e però cp = x'l~^{Axi-\-'Bx2). Viceversa, è evidente che le due 

 forme trovate, qualsiansi A, B, hanno gli stessi gruppi polari. 

 Si può quindi affermare che negli enti razionali (forme 

 binarie) possono darsi tre soli casi, in cui gruppi fondamentali 

 dello stesso ordine n abbiano gli stessi gruppi polari: e cioè quando 



