quand'è che due curve piane dello stesso ordine, ecc. 25 



1° I gruppi fondamentali sono gli elementi w"p'' dell'ente. 



20 I gruppi fondamentali sono i gruppi di una involuzione 

 di l'"^ specie con due dati elementi w°p'' (cioè i gruppi ai quali 

 è apolare una data coppia di elementi). 



30 I gruppi fondamentali sono costituiti da un dato ele- 

 mento {n — 1)"P^° e da un altro qualunque. 



IL 



Passiamo alle forme ternarie. Qui pure si può notare che 

 la corrispondenza fra i poli e le prime polari rispetto ad una 

 curva fondamentale non è biunivoca nel solo caso che la curva 

 sia il sistema di n rette passanti per un punto. Ciò accade 

 infatti se la prima polare di un punto è indeterminata. Se in- 

 vece due punti e però tutti i punti della retta r che li con- 

 giunge hanno la stessa prima polare C„_i rispetto ad una curva 

 fondamentale C„ di ordine n, ed r non contiene un punto n"P'° 

 di questa curva, i punti comuni ad r, C„ (colle loro molti- 

 plicità) devono manifestamente appartenere a C„_i; cioè r deve 

 appartenere a C„_i e quindi a C„. Ma allora la polare di ogni 

 punto di r rispetto a C„ si compone di r e della prima polare C„_2 

 dei punto rispetto alla curva residua, d'ordine n — 1, che fa parte 

 di C„; cosicché, se questa curva residua non ha un punto {n — l)ipio 

 sopra r, dovrà r staccarsi pure da essa. Continuando, si con- 

 clude che C„ è composta della retta r w"p'*, se non è formata di 

 n rette concorrenti in un punto di r (fra le quali figuri even- 

 tualmente la stessa r una più volte). 



Adunque, escluse le curve fondamentali d'ordine n che hanno 

 per prime polari tutte le curve d'ordine n — 1 del piano, le quali 

 curve fondamentali sono tutte e sole quelle dotate di punto n"P^°; 

 la corrispondenza fra i poli e le prime polari è un'omografia non 

 degenere. 



Si può dedurne di passaggio una osservazione relativa ad 

 una rete di coniche. Una tal rete, quando è generica, si può 

 sempre pensare come rete di prime polari rispetto ad una certa 

 cubica (*), anzi si può costruire facilmente una equazione sim- 



(*) Cremona, Sopra alcune questioni nella teoria delle curve 2>iane (" Annali 

 di Matematica pura ed applicata „, t. VI, 1864), n. 21. 



