26 EUGENIO BERTINI 



bolica di questa curva (*). Se la rete acquista una sola o due 

 sole rette doppie (distinte o successive) le coniche della rete 

 non possono costituire piìi un sistema di polari. Che cosa di- 

 venta allora la suddetta equazione? Siccome la detta impossi- 

 bilità si dimostra coU'aiuto della corrispondenza biunivoca fra 

 le coniche polari e i loro poli (**), si vede a 'priori che quel- 

 l'equazione, se non diviene indeterminata, si ridurrà a rappre- 

 sentare il sistema di, tre rette per un punto. 



Se due curve fondamentali d'ordine ?i /"=(>, cp = hanno 

 le stesse prime polari (non indeterminate) sussisterà adunque, 

 per ciò che si è detto, fra i loro poli una omografia non dege- 

 nere. Suppongasi dapprima che tale omografia sia con tre punti 

 uniti distinti. Assunti come vertici del triangolo di riferimento, 

 si hanno le formolo ^i = a^i, y2 = i>Z2, y3 = czs; 



^z=a— ^ =: b — ^Z" ■_ g òqp . 

 dalle quali segue 



(a — b) ^^- ={b — e) ^ — r— = (e — a) - — r— = , 



e quindi 9 = Aa?" -f Ba;" -j- Cxi. Viceversa, queste forme, qual- 

 siansi A, B, C, hanno le stesse prime polari. 



Che se a=^b, cioè si considera un' omologia col centro 

 esterno all'asse di omologia, dall'essere 



d> òV ^_Q 



segue cp = Axl-{- u„, ove w„ è una forma binaria in Xi,X2; e 

 analogamente f = A' x'I -\- u' „. Ma, ritornando alle condizioni 

 superiori, cioè alle 



òxi òa-i ' òxì òxì ' òa-3 0^3 ' 



(*) RosAXES, Ueber Systeme von Kegelschnitten (" Matheni. Annalen ,, 

 B. VI), n. 12. 



(**) Cremona, 1. e, n. 22 e segg. 



