28 EUGENIO BERTINl 



La equazione cp -= Axl -f- Ca^iiCg"^ -\- Dxl = 0, qualsiansi A, C,D, 

 è caratteristica di curve che hanno un punto (n — 1)"p'° in 

 iCg = c»3 ^= coir unica tangente a;2 = 6 un punto d'iperoscu- 

 lazione sopra 373 = 0, la cui tangente, Cxi-\-'Dx2 = 0, passa 

 per :»! = a;2 = 0. Dunque 



S** Hanno le stesse prime polari le 00^ curve dotate di un 

 medesimo punto {n — l)"?'» colla medesima unica tangente e aventi 

 ciascuna un punto d'iper osculazione, così che i punti d'iperoscu- 

 lazione giacciano in una retta per il punto {n — l)'ip'<' e le tan- 

 genti in quelli passino per un punto della tangente in questo. 



Esaminiamo qui il caso in cui si abbia una omologia fra 

 i poli, di cui l'asse passi per il centro. Basta porre nelle for- 

 molo precedenti a^=b, cioè partire dalle 



dxì òxi ' ÒX2 òxi '^ òxì ' ÒX3 àx3 



onde ne seguono soltanto le 



Ò^^ ' ÒOCiÒXs 



e quindi si ha 



cp = Axr'x^ + Bx^ -{-Cxr'xs + ... -|- Da;? 



/•= A'xr'xi + B'x^-\-C'xr'x3 -f- ... -t- B'xl 



Riprendendo le precedenti equazioni si trova poi che deve essere 



_^__C^_ __iy . _ n(B'A — BAQ 



«— ^ — C — D ' A^ • 



e quindi che delle due forme f, qp una è arbitraria combinazione 

 lineare dell'altra e di x^. Per conseguenza: 



4'' Hanno le stesse prime polari le oo^ curve di ordine n 

 (di un fascio), che posseggono un medesimo punto [n — 1)"p''' colla 

 medesima tangente e le cui ulteriori n intersezioni cadono pure 

 nel punto {n — 1)"p'° (cioè che hanno raccolte in questo punto 

 tutte le n^ intersezioni). 



Rimane da ultimo il caso in cui l'omografia tra i poli abbia 

 tre punti uniti successivi, cioè, per opportuna scelta del trian- 

 golo fondamentale, sia data dalle formolo 



yi = aZi-\-'Kz2-\- V^z<^. ?/o = «2:0 -|- V03. y^ = az^. 



