RISOLUZIONE DELLE SINGOLARITÀ PUNTUALI ECC. 67 



ai punti singolari della superficie data corrispondano solo punti 

 semplici della nuova superficie) (^). 



Questo mi propongo di dimostrare nella presente nota. 



Adoprerò soltanto trasformazioni Cremoniane; quindi mi 

 esimo dal ripetere l'aggettivo. 



§ 1. 



1. — Farò uso della seguente proposizione che mi riservo 

 di dimostrare altrove (anche piìi completa): Si consideri una 

 superficie F dello spazio {^) Z e in essa un punto singolare A, 



C) Molti autori si sono già occupati di questo problema, o di quello 

 equivalente (cfr. n. 3) di risolvere le singolarità delle superficie con trasfor- 

 mazioni birazionali dello spazio. Ricordo, tacendo dei lavori in cui si ana- 

 lizzano solo particolari singolarità. Del Pezzo, Estensione di un teorema di 

 Noether, " Rend. Circ. Mat. Palermo „ , II, 1888, e Sui punti singolari delle 

 superficie algebriche, id., VI, 1892. — Seghe, Sulla scomposizione dei punti 

 singolari delle superficie algebriche, " Annali di Matematica ,, (2), XXV, 1896, 

 — Picard et Simart, Théorie des fonctions algébriques des deux variables. 

 T. I, p. 77, Paris, Gauthier-Villars, 1897. Nessuno però giunse alla completa 

 dimostrazione della resolvibilità del problema. — Non è necessario ricordare 

 che si può supporre la superficie data immersa in uno spazio qualunque, 

 anche quando, come io farò, si ragioni soltanto su superficie dello spazio 

 ordinario, poiché una proiezione riconduce dall'un caso all'altro; che inoltre 

 ridotta la superficie ad una, dello spazio ordinario, con sole singolarità or- 

 dinarie quali ho ricordate nel testo, risulta pure provata la possibilità di 

 ricondurla ad una superficie iperspaziale (e precisamente di un Ss) con soli 

 punti semplici: determinata una trasformazione algebrica (non birazionale) 

 dello spazio che muti la superficie data nella sua trasformata con sole sin- 

 golarità ordinarie definita nel testo, basterà costruire il sistema lineare 

 somma del sistema dei piani dello spazio di una di queste superficie e del 

 sistema delle superficie di questo spazio, imagini dei piani dell'altro, e 

 riferirlo proiettivamente al sistema degl'iperpiani di un conveniente spazio 

 per ottenere definita in questo una superficie priva di punti multipli e 

 biunivocamente riferita alla data (cfr., per un ragionamento analogo, il 

 n° 4. — V. pure Picard et Simart, 1. e, p. 79). Una proiezione conduce da 

 questa alla richiesta superficie in un S5. Il ragionamento del n° 4 si applica 

 d'altronde direttamente alla determinazione di questa superficie senza pas- 

 sare per quella in S3. 



(') Il teorema si estende alle varietà qualunque immerse in uno spazio 

 di dimensione qualunque: io ne farò uso per quanto si riferisce alle super- 

 ficie e alle curve dello spazio ordinario e del piano. Per le curve valgono 

 gli enunciati del testo (relativi alle superficie) mutandovi le parole " un 



