RISOLUZIONE DELLE SINGOLARITÀ PUNTUALI ECC. 69 



simili rispetto a un ramo f {o a due rami f e Y trasformati l'uno 

 dell'altro nel modo qui considerato) due trasformazioni o succes- 

 sioni di trasformazioni che trasformino A, come origine di f, (o i 

 punti A e A' di singolarità simili, come origini rispettivamente di 

 T e di f') in punti di singolarità simili. 



2^ A sia punto fondamentale isolato ordinario (^) di e 

 le superficie fondamentali per esso non siano tangenti a t; 

 ad A, come origine di t, corrisponda A', origine di t': le mul- 

 tiplicità di composizione di A' su F' lungo t' sono s', s", . . . {^); 

 e ogni altra trasformazione che abbia anch'essa A come punto 

 fondamentale e le superficie fondamentali per A non tangenti 

 a T è simile a rispetto a t (^). 



stesso punto su due superficie (Sui sistemi di curve e di superficie, " Rend. 

 Gire. Mat. Palermo „, t. Ili, 1889), né quella del prof. Castelnuovo {Alcune 

 proprietà fondamentali dei sistemi lineari dt curve tracciati sopra una super- 

 ficie algebrica, " Ann. di Mat. „, (2), 25, 1897) debbono essere ravvicinate a 

 quella presente di singolarità simili. Piuttosto i*icordo che il prof. Segre 

 (1. e, p. 46) assume come indice della complicazione di una singolarità di una 

 superficie il numero h massimo per cui, fra i caratteri di composizione della 

 superficie sui diversi rami pel punto (s, s, s", . . .) vi sia una s^'^> diversa da 1. 

 In questo senso due singolarità simili (secondo la definizione del testo) 

 hanno ugual complicazione. Rilevo ad ogni modo che quanto è detto nel 

 presente lavoro non richiede affatto che si analizzi il concetto di singola- 

 rità simili uguali: si accolgano le parole " singolarità simili „ come una 

 semplice locuzione, come nel testo è detto; e si noti che non si potrà 

 (nel significato presente) parlare di singolarità simili in due superficie che 

 non siano riferite fra loro biunivocamente da una trasformazione Cremoniana. 



(') Cioè tale che a ogni direzione generica uscente da A corrisponda 

 un punto e che, muovendosi detta direzione, si muova pure questo punto. 



(*) Questa parte della proposizione è, almeno in parte, provata dal 

 prof. Segre nel citato lavoro (p. 50-51); anch'essa è implicitamente supposta 

 vera in molti lavori, perchè tale ipotesi si fa quando si parln- di multipli- 

 cità di composizione, senza fissare le trasformazioni quadre '.che che ser- 

 vono a determinarle (cfr. p. e. Noether e Segre, 11. ce). Ne" lavoro storico 

 di Brill e Noether, Die EntwicMung der Theorie der algebraì shen Functionen 

 in alterer und neuerer Zeit (" Jahresbericht d. deutschen Mr n.-Vereinigung „, 

 Bd. 3, 1892-93, p. 384), dopo che sono state definite le s lidette multiplicità 

 (per le curve piane) con trasformazioni quadratiche speciali, è detto " so 

 " sind... statt der speciellen auch die allgemeinen que. dratischen Cremona- 

 Substitutionen sogleich verwendbar und fuhren zu genau derselben Zusam- 

 * mensetzung der Multiplicitàt „. 



(^) Nel piano, ammesso l'enunciato 1°, segue senza difficoltà questo 2", 

 per essere notoriamente ogni trasformazione Cremoniana piana, prodotto 

 di trasformazioni quadratiche. 



