RISOLUZIONE DELLE SINGOLARITÀ PUNTUALI ECC. 71 



Il ragionamento si può proseguire finche si siano esaurite tutte 

 le trasformazioni T, e il risultato si può enunciare sotto questa 

 t'orma: Si considerino le due successioni di trasformazioni T,Ti, T2,.-. ; 

 0, ©1, 02, . . . e siano Ti, T2, T3, ••• ; t'i, T'2, t's, • •• * f'^^ni suc- 

 cessivi trasformati di t p^>^ 1(1 prima e per la seconda successione, e 

 siano T e simili rispetto a x, Ti e Q^ simili rispetto a fi e t'u 

 Tg e 02 simili rispetto a T2 ^ T'2 ^ così via: le due successioni sono 

 simili rispetto a f. 



3. — Si trasformi lo spazio Z di F con una trasformazione 0, 

 a punti e linee fondamentali ordinari, nella cui determinazione 

 esistano elementi arbitrari. Sia F' la trasformata di F per 0. 

 Fra le singolarità di F' distinguo: 



a) i punti e le linee singolari di F' che corrispondono a 

 punti di F appartenenti a linee fondamentali di non generici 

 su tali linee (in particolare tali che in essi queste non si com- 

 portano come linee fondamentali ordinarie), ovvero che corri- 

 spondano alle origini di rami tracciati su F e tangenti alle su- 

 perficie fondamentali di 0, e che, variando gli elementi arbi- 

 trari di 0, scompaiono oppure persistono, corrispondendo però 

 alle origini di rami tracciati su F diversi dai precedenti; per 

 modo che, nella che si ottiene per una tal variazione le ori- 

 gini dei rami che erano per la data nelle particolari posizioni, 

 cessino di esser tali; 



b) i punti e le linee singolari di F' che corrispondono a 

 punti e linee di F appartenenti alle superficie fondamentali di 0. 



Tutti questi punti e queste linee dirò, per brevità di lin- 

 guaggio, di singolarità accidentale e dirò la loro multiplicità mul- 

 tiplicità accidentale. 



In seguito alla si eseguisca una nuova trasformazione 0^ 

 a punti e linee fondamentali ordinari definita in funzione della 

 in modo che, per ogni generica (relativamente alla scelta 

 degli elementi arbitrari che compaiono nella sua definizione), 

 esistano trasformazioni 0i , e nella cui definizione possono inoltre 

 comparire elementi arbitrari. Dirò singolarità accidentali pel pro- 

 dotto 01 le trasformate per 0i delle singolarità accidentali 

 per e le singolarità accidentali per 0i. Relativamente alle va- 

 rietà fondamentali ordinarie della trasformazione prodotto si vede 

 facilmente che questa definizione concorda colla precedente. Ana- 



