RISOLUZIONE DELLE SINGOLARITÀ PUNTUALI ECC. 73 



numero finito di punti cuspidali ordinari in punti semplici per 

 la linea, e, nei suoi punti d'incontro con se stessa punti tripli 

 ordinari per la linea e tripli e triplanari per F e nei suoi punti 

 d'intersezione colle altre linee multiple di F (punti che su queste 

 sono del resto generici) punti planari, aventi per F multiplicità 

 superiore di un'unità a quella massima delle due linee. 



Il problema di sciogliere le singolarità puntuali della F con 

 trasformazioni birazìonali della medesima si riduce adunque 

 all'altro di trasformare birazionalmente la F in una nuova su- 

 perficie i cui punti siano tutti o semplici ovvero di multiplicità 

 accidentale. Sarà quindi provato che si può risolvere il problema 

 proposto quando, con un numero finito di trasformazioni bira- 

 zionali, si sia giunti ad abbassare le multiplicità dei punti di F 

 che per le trasformazioni non sono di singolarità accidentale, 

 od anche si sia giunti ad abbassare la multiplicità di una sua 

 linea o di un suo punto arbitrari senza introdurre nuove singo- 

 larità altro che in punti di singolarità accidentale. Questo io 

 farò nel seguito. 



È evidente che le considerazioni svolte in questo n° sup- 

 ponendo che F sia una superficie si applicano (anzi con maggior 

 semplicità) al caso che F fosse una curva. 



§ 2. 



5. — Farò uso di trasformazioni dello spazio di due tipi, 

 entrambi casi particolari delle trasformazioni monoidali [^). 



(*) Cfr. per le proprietà delle generali trasformazioni monoidali: 

 De Paolis, Sopra un sistema omaloidico formato da superfìcie di ordine n 

 con unpmito{n — l)plo, " Giornale di Battaglini „, voi. 13, 1875, p. 226 e 282. 

 Ricordo che nella trasformazione monoidale definita da monoidi di dato 

 ordine n le varietà fondamentali sono il vertice P comune a questi monoidi 

 (punto fondamentale isolato) e una linea l d'ordine nin — 1) avente P come 

 punto (m — l){n — 2)-plo (linea fondamentale); inoltre il cono K che da P 

 proietta l, e il monoide M d'ordine n — 1 di vertice P e passante per l. 

 La trasformazione inversa, ancora definita da monoidi d'ordine n, ha varietà 

 fondamentali analoghe. Le proprietà della trasformazione si verificano fa- 

 cilmente sulle formole che la rappresentano. Assunte nei due spazi (pri- 

 mitivo e trasformato) coordinate omogenee, rispettivamente XiXiXgXi, 

 x'i x'i x\ x\, essendo P e l'analogo P' rispettivamente i punti Xx=X2=x^'*=0 , 

 x\^^x'^=x'3 = Q, e rappresentato con M, = il monoide corrispondente 



