RISOLUZIONE DELLE SINGOLARITÀ PUNTUALI ECC. 75 



piano non passante per P possono i monoidi avervi soltanto un 

 determinato contatto). Si può però scegliere l'ordine della tras- 

 formazione assai elevato perchè: 1° un'altra retta fissata ad 

 arbitrio per P, appoggiata ad L non sia necessariamente parte 

 di l (^) ; 2° in un punto fissato ad arbitrio , diverso dai detti 

 punti multipli e dai punti d'appoggio delle corde per P, il piano 

 tangente ai monoidi del sistema non sia fisso (^). 



2° Il secondo tipo di trasformazioni che avrò da appli- 

 care è quello delle trasformazioni quadratiche a conica fonda- 

 mentale degenere, che chiamerò semplicemente trasformazioni 

 quadratiche speciali (e scriverò brevemente t. q. s.). Se P è il 

 punto doppio della conica fondamentale del primo spazio (P ha 

 quindi significato diverso che nelle linee precedenti), P' quello 

 nel secondo, alle rette per P corrispondono quelle per P' e la 

 corrispondenza fra le due stelle è quadratica ed ha per rette 

 fondamentali in ciascuna stella le rette della conica fondamen- 

 tale del rispettivo spazio e la retta che da P (o da P') proietta 

 il punto fondamentale isolato (che dirò brevemente punto fon- 

 damentale) (o 0'). Su due rette corrispondenti l'una per P e 

 l'altra per P' (diverse l'una da PO, l'altra da P'O') i punti si 

 corrispondono in una proiettività in cui sono omologhi P e P'. 

 Un altro caso di trasformazione quadratica speciale è com- 

 preso nelle trasformazioni monoidali speciali, e si ha quando 

 il punto fondamentale cada sulla conica fondamentale. Sotto il 

 nome di trasformazione quadratica speciale si intenderà però 

 sempre quella definita in 2°. 



6. — Una superficie F abbia una linea L s-pla; si trasformi 



(') Poiché: " Se per le corde di una curva passanti per un punto si 

 conduce un cono, esiste sempre un monoide che ha questo come sottocono 

 — (cono tangente nel vertice) — e contiene la curva „. Valentiner , Zur 

 Theorie der Baumcurven (p. 170), * Acta Mathematica „, p. 136-230. In questo 

 enunciato si suppone che la curva non possegga punti multipli generali 

 (altro che doppi), ma facilmente si vede come esso basti al nostro oggetto 

 (Si osservi p. e. che ogni punto singolare di una curva si scioglie con un 

 numero finito di trasformazioni; cfr., anche per citazioni, A., n° 3). 



C) La trasformazione è determinata quando è dato un monoide de] 

 sistema omaloidico e K (cioè detto monoide e su esso la l); il piano tan- 

 gente in un punto di L non sarà fisso se per questo punto non passa una 

 generatrice doppia di K; per esso non passerà allora altra parte di l. 



