RISOLUZIONE DELLE SINGOLARITÀ PUNTUALI ECO. 77 



la A'P' — in particolare, se A' è s-plo per F' o cf-plo per 4>' — ; 

 la multiplicità d'intersezione di F' e 0' in A' è uguale a quella 

 di F e in A diminuita di scf. 



§ 3. 



8. — Data una superficie V si può sempre, con una suc- 

 cessione di trasformazioni (quadratiche speciali), mutarla in una 

 nuova superficie F su cui non esistano punti multipli per essa, 

 altro che generici (riguardo alla multiplicità) di linee multiple 

 di F o punti di singolarità accidentale ; ne punti multipli per le 

 sue linee multiple (curve algebriche irreduttibili), altro che acci- 

 dentali {A. n* 14, 17, 3 (1)). 



Sia ora L una linea s-pla di F. Si assuma un punto P in 

 posizione generica rispetto ad F e ad L e si determini una t. m. s. 

 per cui L e P siano linea e punto fondamentali; F ne sarà 

 mutata in una superficie F' in cui ad L corrisponde L' di mul- 

 tiplicità < s e che, fuori di L', possiede solo singolarità simili 

 a quelle di F fuori di L e singolarità accidentali (^). Può ora 

 avvenire che la L' abbia multiplicità = s ovvero < &• conte- 

 nendo però ancora punti s-pli, ovvero non contenga nemmeno 

 tali punti. Nell'ultimo caso le singolarità di F si saranno ab- 

 bassate ; negli altri due si dovrà proseguire nelle trasformazioni. 



Consideriamo il primo caso : nessuna generatrice di K' 



(') Infatti, come ho provato in A., ogni punto mPl° di una linea si può 

 sciogliere con trasformazioni quadratiche speciali, e con tali trasformazioni 

 si abbassa anche gradualmente la multiplicità di ogni punto multiplo di 

 una superficie, finche questo e i suoi trasformati che si considerano non 

 appartengono a linee di ugual multiplicità delle corrispondenti superficie. 

 Colle trasformazioni si introdurranno, oltre a singolarità accidentali, linee 

 singolari, trasformate dei punti singolari su cui si è operato. Tali linee po- 

 tranno eventualmente avere punti multipli per esse, ma la multiplicità, 

 per la superficie, di questi punti è allora minore di quella del punto da 

 cui provengono; e, poiché la multiplicità di un punto non può divenire < 1, 

 dopo un numero finito di operazioni tale particolarità non potrà piìi prodursi. 



Si può osservare che dalla V si può passare ad una F avente le pro- 

 prietà suenunciate con trasformazioni quadratiche di cui si facciano passare 

 pei punti da trasformarsi le coniche fondamentali. 



O F' possiede generatrici di K' come linee singolari, ma tutte acci- 

 dentali, essendo accidentali i punti multipli di L, e arbitrario P (n° 5). 



