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(=P'L') tocca F', uè incontra F' fuori di L', o L' due volte in 

 punti (distinti o coincidenti) non accidentalmente singolari. 



Assoggettiamo F' ad una nuova t. m. s. in cui L' e P' siano 

 linea e punto fondamentali. F' si trasforma in F" con singo- 

 larità analoghe a quelle enumerate per F'. Si supponga ancora 

 s-pla L", trasformata di L' : si assoggetti F" ad una nuova t. m. s. 

 di cui P" e L" siano punto e linea fondamentali; e così si pro- 

 segua. Dopo un numero finito X^ di trasformazioni si giungerà 

 ad una superficie F^'^'^ su cui L''^'-»), trasformata di L, ha multi- 

 plicità < s. Infatti (n'' 5, 1°), per la effettuata successione di 

 trasformazioni, ad una sezione piana generica di F per P cor- 

 risponde una sezione piana generica di F^'^'^ per P''^'* e le due 

 curve si ottengono, la seconda dalla prima, con X^ trasformazioni 

 birazionali piane aventi punti fondamentali successivamente 

 nei punti d'intersezione del primo piano segante con L e nei 

 loro successivi trasformati: e il numero delle trasformazioni 

 necessarie ad abbassare la multiplicità di dati punti singolari 

 di una curva piana è finito. 



Essendo L(^»> di multiplicità < s, si potranno ancora distin- 

 guere due casi: 1" su L'-^^^ non esistono punti s-pli per F''^»': le 

 singolarità di F risultano diminuite; 2** su L''^») esistono punti 

 s-pli (non accidentali), e cioè: a) punti che appartengono a linee 

 s-ple di F^'^') (trasformate di linee s-ple di F) ; b) punti che non 

 appartengono a tali linee. I primi sono, in quanto alla multi- 

 plicità, punti generici delle linee s-ple suddette, cosicché, se esi- 

 stessero su IS^^^ solo tali punti si sarebbero ancora diminuite le 

 singolarità di F. Basta adunque cercare la risoluzione dei punti 

 della seconda specie. 



Sia A^-^'' uno di questi punti. Si trasformi Ft-^'' con una suc- 

 cessione di t. q. s. assumendo P*-^'^ e i suoi trasformati come 

 punti doppi delle coniche fondamentali e Af-^»* e una successione 

 di suoi trasformati s-pli come punti fondamentali isolati. Dopo 

 un numero finito di tali operazioni, o non si otterranno piti tras- 

 formati s-pli, oppure si otterrà una prima volta una retta s-pla 

 L*'^)/"!) trasformata di A'-^') [A.]. Se il primo caso si verifica per 

 tutte le successioni di punti s-pli trasformati di A^'^'^, che sono 

 allora sempre in numero finito, ed inoltre per tutti i punti di 

 L^-^») quale A''^'), con una conveniente successione di t. q. s. (quella 

 delle trasformazioni di cui ora si è parlato) Ff'^i' si muta in una 



