RISOLUZIONE DELLE SINGOLARITÀ PUNTUALI ECC. 79 



superficie in cui le singolarità, rispetto a quelle di F, sono di- 

 minuite, poiché, fuori dei trasformati dei punti di L, possiede 

 solo singolarità simili alle omologhe di F e singolarità acciden- 

 tali. Se si verifica il 2° caso, sia F^'^'"'* l'ultima trasformata di 

 F, P''^^"») il corrispondente trasformato di P. L'-'"'^*») non passa per 

 p(Ai^i) e p(^/"i)L('^i/"'' non tocca F^^^^f^^^ ne la sega fuori di L('^i"i) 

 in punti di singolarità non accidentale. 



Si operi sopra F^'^''"») e L^^'^»^ come si è fatto su F e L, 

 assumendo come punto fondamentale della t. m. s. Pf-^i/*!), e si 

 prosegua per le successive superficie trasformate come fin qui. 

 Dimostrerò che, dopo una successione finita di trasformazioni si 

 giungerà ad una F^^ì^^^^^*^-^r) per cui Jji^ì/M^^i-^r) (ultima tras- 

 formata di L, A('^i), L''^'-"'), A^'^^^*^'^^ . . .) ha multiplicità < s e 

 non possiede punti s-pli della seconda specie sopra distinta. 



9. — Rappresento per brevità con F^'^* una Y^^i^h-^i) qua- 

 lunque e suppongo che sulla corrispondente L''^) esista un punto 

 A(M s-plo per F^'^) della seconda specie. Distinguo due casi: 



1° Per A^-^' passano più rami parziali di L^^K Indichi F[ 

 la k-ma polare di P'-^^ rispetto ad F'-^) (Fq^'^^ ^ F''^^) : esiste sempre 



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un p (0<p<s — 1) tale che Fp non passa per l'intersezione di 

 f1_i e K^'^) fuori delle generatrici comuni a K^-^^ e 1^^'^ (^): 



2° Per A^'^^ passa un solo ramo parziale di L^'^*: L^'^) sia 

 s'-pla (s' < s) e s' — p piani tangenti a F^'^' in un punto gene- 

 rico di L^-^' passino per P'-^l Fp ^ passa per L^-^' con multiplicità 

 s' — p avendo tutti i suoi piani tangenti nei punti generici di 

 L^-^' tangenti a K^-^^ ; mentre Fi— i passa semplicemente per h^^^ non 

 essendovi tangente a K^^K 



In ambi i casi Fp \ Fi li hanno A^-^) rispettivamente s-p-plo 

 e semplice; quindi, mentre o non hanno punti comuni su una 

 generatrice generica di K^'^), ovvero hanno in un punto generico 

 di L^''') multiplicità d'intersezione s'-p, hanno in A''^' multiplicità 

 d'intersezione ^ s-p (n** 7). Fp e F^Ji s'intersecarlo quindi se- 



0) Il ragionamento, d'altronde semplicissimo, con cui si prova questa 

 proposizione e la seguente, è interamente analogo a quello contenuto 

 in A., n. 10. 



