RISOLUZIONE DELLE SINGOLARITÀ PUNTUALI ECC. 81 



per P'A', P"A", ...: G' ... G^'^'* sono proiettivamente uguali 

 a G; G*'^»^^ è invece trasformato di G'''^'' con una trasformazione 

 quadratica nella stella per cui p('^i)A<'^i' è retta fondamentale; 

 quindi è proiettivamente uguale al trasformato di G con una 

 trasformazione quadratica nella stella di cui FA è retta fon- 

 damentale. Ripetendo il ragionamento si deduce che Qi^^fh-M) q 

 proiettivamente uguale al trasformato di G con }ài-\-H2-\-...-\- m,'- i 

 trasformazioni quadratiche della stella di cui sono rette fonda- 

 mentali PA, la sua trasformata omologa a p('^ii)A(''''i^*, la tras- 

 formata di questa omologa a p('^i2)A('^>^^ ecc. Dunque, crescendo 

 convenientemente i, pi^^f^ì ■■^')A'^^Mi-^i) ha per Qf^i^fì-^i) multipli- 

 cità successivamente decrescente. 



Su G sia tracciata una curva che passi per A senza toc- 

 carvi PA e le cui trasformate passino per A' A" ... senza 

 toccarvi P'A', P"A", . . . , e tale che G non ne sia cono di corde. 

 Crescendo i convenientemente la multiplicità di A*'^'/*»-'^*) per la 

 curva trasformata decresce gradualmente fino a ridursi all'unità. 



Fatte queste premesse, si proietti C (n** 9) da un punto Pj 

 fuori dei piani tangenti a F in A, del cono tangente a F da un 

 punto generico fissato ad arbitrio di C e del cono proiettante 

 da tal punto le linee s-ple di F. Sia T il cono proiettante. Si 

 dica n l'ordine di F, m quello di C; sarà 



m < {n — p) (n — s-|-l) - n [n — s-\- 1). 



Sia Ci l'intersezione di f e F, m^ il suo ordine: sarà 

 mx=^mn\ e se C2 è la curva costituita dalle parti (curve 

 algebriche irreduttibili) di Ci prese ciascuna una sola volta, 

 m^ il suo ordine, m^^nii. Ci, e quindi C2, passa per A, 

 senza toccarvi PA, con una piti parti, ciascuna di multiplicità 

 (per Ci) < s, mentre A ha multiplicità > s per l'intersezione di 

 r e F. Dunque A è multiplo per Cg. La nuova successione di 

 trasformazioni, simile alla precedente, che si ottiene assumendo 

 Pi come primo punto P, muta V successivamente nei coni pro- 

 iettanti da P'i,P"i, ... le corrispondenti trasformate di C, e muta 

 C e quindi Ci e C2 in curve, successivamente, per A' A'' ... , non 

 tangenti rispettivamente a P'iA', P"i A", ... ; e, come A per C2, 

 A' A" . . . saranno multipli per la corrispondente trasformata 



Atti della R. Accademia — Voi. XXXIII. 8 



