RISOLUZIONE DELLE SINGOLARITÀ PUNTUALI ECC. 83 



trasformata una o, si deve applicare una successione di t. m. s. 

 fino a trasformare in una o la trasformata di ottenuta ; indi- 

 cherò con V il numero di queste t. m, s. ; sarà v = se la tras- 

 formata di è senz'altro una o. Dimostrerò che, se si suppone 

 il numero dei punti sufficientemente elevato, da un certo in 

 poi è sempre v = cosicché il caso che qui si considera si 

 riduce a quello analizzato in A., n° 17. 



Osservo in primo luogo che il numero dei punti su una o 

 è finito (^). Ciò posto, si fissi una o, che si consideri come prima 

 (e può essere la prima che si incontra), e si indichi con o: 

 siano e O'i i due ultimi punti su di essa; sia o la se- 

 conda per O'i, e 0*2 , . . . , OV-i — 0', 0'»' = 0"i gli altri suc- 

 cessivi punti su essa; analogamente sia o'' l'altra o per 0"i, 

 e 0"2, ... 0'V_i = 0", OV = 0"'i gli altri punti su essa e 

 così via; siano poi o\ o\ ... o'»'_i d\ ... le o per O'g O'a . . . 

 OV Cg ... diverse dalle d o" ...; vv'i v'g ... vV_i = v' vV = V\ v''^ ... 

 i numeri v relativi ai punti cogli stessi indici e apici; OO^^'g ... 

 <t>'.'-i 0',' 0"2 . .. le trasformate di F cui appartengono rispet- 

 tivamente i detti punti Q; p' p\ ... i numeri analoghi a p (n° 9) 

 relativi a v' v'i . . . Infine si indichi con 0^°'^ la k-ma polare, ri- 

 spetto a 0)^', del punto P corrispondente. La multiplicità d'in- 

 tersezione di O^Ui e <^% in O^S è > (v{? + 1) {s-k). 



La multiplicità d'intersezione di O^-i e <^p' in è 



(v + l + e)(s-^') (e<l){2): 



quella di 4)\.s-i e (^\ in O'i è quindi <(v + l-(-26) {s — p') 

 e quella di 0'2,s-i e OV in 0\ < (v — v'i + 3€)(s — /) onde 



(v'2 + 1) (s-p) < (v-v\ + 3e) [s-p') 

 e v'2<v — v'i + 1. 



Analogamente, in generale, v' '<v — v'^ — v'2 — ... — vy_i-|-l 

 e, a fortiori, 



(a) vV<v-v>_i + l {f = 2...i') 



(*) Basti notare che tutti i punti su una sono le origini dei rami 

 trasfornaati di uno stesso ramo lineare e che quindi il numero di tali 

 è < a quello dei punti successivi s-pli della superficie su questo ramo. 

 Dopo ciò si possono applicare i risultati di A. (p. e. A., n" 15). 



e(s — y) è la multiplicità d'intersezione di ^'u-\ e ^t^'ip' nei punti 

 generici di 0'. 



