RISOLUZIONE DELLE SINGOLARITÀ PUNTUALI ECC. 85 



finito di operazioni non possono piìi presentarsi punti 0). Nel 

 precedente ragionamento non è escluso che k ^ 1 : allora non 

 esistono punti 0'^' ; è invece escluso che k = i' — 1 ; se però 

 questo caso si verifica, è v' ^ 1 : così ci riduciamo al caso 

 di v = l; infine non si sono considerati i casi che v'^+i=:l 

 o v'i = 2: allora si ha (per una relazione precedente) v'/ < 1 

 per f > K-\- 1 0, rispettivamente, > 1 cosicché il problema si 

 riconduce nel 1° caso a quello v < 1, v'i < 1 e nel secondo a 

 questo ovvero a v = 2, v'i < 1 ; 



2° V ^ 1 v\ = 2. In modo assolutamente analogo al 

 precedente si vede che le v successive sono tutte nulle (e in 

 numero finito); 



3ov = l v'i = I v'2 = l i'>2;e4°v=0 v'i=l. 

 Con ragionamenti analoghi ai precedenti si giunge agli stessi 

 risultati ; 



5° V = 1 , v'i = v' = 1 , v'2 = y>"i = 1 , .... Il caso si ri- 

 duce ad uno degli altri scegliendo come nuovo punto un con- 

 veniente punto successivo al presente, a meno che ogni i si 

 supponga = 2 . Ma in ogni caso si può fare la ricerca diretta 

 se v"i = v" e v"2 = v"'i = l. La ricerca e la conclusione sono 

 del tutto analoghe a quelle dei casi precedenti, osservando però 

 che i punti si succedono ora su differenti rette o; 



G** V = 1 v'i = 1 v'2 =: 0. a) Se i' = 2 si passa al caso 

 V = 1 v'i = (8° e 9°). — b) Se v'2 r= v'3 = ... = vV-i = vV =0 

 si passa al caso v = v', = (7°). — e) Se v'2 = . . . = vV-i = 

 v'i' = 1 si passa al caso v = v'i := 1 (4'^). — d) v'2 = ... = 

 v'/ = vV+i = 1 if < i' — !)• Con ragionamento analogo a 

 quello usato per V si giunge agli stessi risultati ; 



70 v = v'i = 0. Si possono fare due ipotesi: a) Tutte 

 le V successive sono nulle; si cade allora nel caso contemplato 

 in A., n° 17. — b) Esiste una v il cui valore è 1: a) la prima 

 (e, si vedrà, l'unica) di tali v corrisponde a un punto ultimo su 

 una delle 0' 0" ...; si cade nel caso v = v'i = 1 (4°); P) non si 

 verifica questo fatto ; si assuma come 0' quella fra le 0' 0" ... 

 che contiene quel punto; si potrà applicare il ragionamento fatto 

 in 1°, col medesimo successo; 



8° V = 1 v'i = vV = 1 . Si ricade nel caso 4°, oppure 

 si ha : v'i'_2 = v" = 1 v"i = 1 . La multiplicità d'intersezione 

 di <i>'i'-2,s-i e OV-2.p'.,_2 in OV-2 è (1 + e^jis —p'r-2) (e2< Ij 



