86 BEPPO LEVI — RISOLUZIONE DELLE SINGOLARITÀ, ECC. 



e < a questa è quella nei punti successivi di o' dovuta a o'; 

 così quella di c|)''i,s_i, ^"i.p'.,^.^ ^^^ punti generici- di o" è 

 •<(2e2 — l)(s — p'i'-ì) <s — p'i'-2 e in 0''i è < Seg; onde quella 

 di 0"2,,_i, ^"2,p'r_^ nei punti generici delle o" e o'\ per C'g è 



<s — p'i'—2. Di qui si può proseguire come in 1°; 



90 V =: 1 v\ = v'i' = . Si ricade nel 7° caso, oppure 

 in uno dei casi: vV-2 =: v" = 1 v"i = 0; vV-3 = vV_2 = 1 

 v" = 1 v"i = 0. Questi casi si riducono ancora al 4" al 7° 

 se non esiste una v"/' = 1 per /' < i" ; se poi una tal v"/- esiste 

 si può ripetere un ragionamento analogo a quello del caso pre- 

 cedente. 



I casi che si dovevano esaminare sono così esauriti. 



12. — Durante le operazioni eseguite possono essersi in- 

 contrati più punti A''^!'"»-'^''""^^) trasformati di uno stesso A'^^^^--^''^^ 

 (a > 0) (e, il che può riguardarsi caso particolare di questo, più 

 punti A — in numero finito — sopra L); si può dire che pos- 

 sono essersi presentate diramazioni nella successione dei punti 

 s-pli A. Per ciascuna di queste diramazioni si può ripetere quanto 

 si è detto per una particolare qualunque nei n' prec, e sarà 

 provato che si può abbassare, con un numero finito di opera- 

 zioni, la multiplicità di tutti i punti trasformati di L solo dopo 

 aver osservato che è finito il numero di queste diramazioni : ma 

 ciò è evidente, perchè è certamente finito il numero di quelle 

 cui corrisponde un ramo dell' intersezione di Fg_i con una Fk, 

 poiché sono in numero finito i rami di queste intersezioni che 

 incontrano L senza appartenerle; e, quanto alle diramazioni per 

 cui si verifichi l'altro caso (e questo si può ripetere anche pel 

 primo), non esistono infinite diramazioni se, a gruppi, non hanno 

 infiniti punti comuni, e se quindi non può crescere indefini- 

 tamente il numero dei punti di una (almeno) di esse, il che 

 escludono i precedenti ragionamenti. 



Noto terminando che la proposizione enunciata nel n" 1** 

 mostra che le particolari trasformazioni usate sono un semplice 

 artificio di ricerca: e che, senza alterare la sostanza delle opera- 

 zioni, si potrà far uso di altre, purché abbiano determinate linee 

 e determinati punti come fondamentali, con conveniente genera- 

 lità. Si potrà anche ricorrere a trasformazioni non Cremoniane. 



