356 RODOLFO BETTAZZI 



Diremo che le varie parti di u rappresentano i numeri, o 

 l'infinito (oo ), che sono la loro somma. 

 Per questo gruppo vale il 



Teokema. — Se il gruppo ora definito per una serie u deve 

 essere un continuo, lo zero dev'essere il limite inferiore degli ele- 

 menti di u. 



Infatti, altrimenti esisterebbe un numero positivo a del 

 quale ogni t/„ sarebbe maggiore, e quindi ogni serie formata 

 con elementi w„ sarebbe divergente, e da ii non potremmo rica- 

 vare se non somme di gruppi finiti di termini capaci di rappre- 

 sentare numeri. Ma i numeri così ottenuti costituiscono (com'è 

 noto (^) ) un gruppo di prima potenza, e quindi non possono co- 

 stituire un continuo, il quale, come si sa, è di potenza superiore 

 alla prima p). 



Osservazione. — Nella serie u la somma della serie sarà 

 il massimo del gruppo in questione, mentre lo zero ne è solo 

 limite inferiore e non un minimo. Il gruppo in questione non 

 può dunque esser continuo, se ad esso non aggiungiamo il nu- 

 mero zero. Converremo di aggiungervi anche lo zero, numero 

 che può ritenersi rappresentato dal non considerare nessun ter- 

 mine della serie, o dal considerarli tutti ridotti a zero. Il gruppo 

 così modificato si indicherà con Sm. 



Evidentemente se Sw è continuo esso non può essere che dei 

 I — I I — I 

 tipi 0«, 00, risp. quando la serie è convergente o divergente, 



essendo a la somma della serie. 



E chiaro che ^u è indipendente dall'ordine dei termini della 



serie. 



(^) Tal teorema , che in simboli di logica può esprimersi così : 

 Num Zj^ = Num N , è corollario di quello di Cantor che i numeri algebrici 

 costituiscono un gruppo numerabile (V' Ehi Beitrag zur Mannigfaltigkeits- 

 lehre, " Journ. fiir Math. , , Bd. 84 — Formulaire, t. 1, VI, § 1, P9). — Cfr. 

 anche : Bettazzi, Sui sistemi di numerazione per i numeri reali, § 3, " Perio- 

 dico di Matematica , , t. V. — Io., Fondamenti per una teoria generale dei 

 gruppi, § 95, ivi, T. XI. 



(^) Cantor, Ueber eine Eigenschaft des Inhegriffs aller reetlen algeb. 

 Zahlen, " Journ. fùr Math. „ Bd. 22 — Formulaire, T. 1, VI, § 1, P12. 



