SULLE SERIE A TERMINI POSITIVI, ECC. 359 



Aggiungendoli successivamente alla serie u, potremo fra 

 gli altri, rappresentare i numeri dei continui: 



{a' + a\) (2a' + a\) 



{a' + à\) + (a' + a^ (2a' + a\) + {a' + a',) 



cioè 



(2a' 4- a'i + a\) (3a' + a'i + a'^) 

 e così 



(3a' + a\ + a'2 + a',) [ia' + a'i + a', + a'3) 

 ecc. 



(wa' -f a', + a'2 + . . . + O ((w + l)a' + «'1 + a'2 + • . • + «'«) 



nell'ultimo dei quali è compreso b = na'-\-a'Q, essendo a'i + 



«'2 + • • . + «'n < n --- = a'o e 6 = (w + 1) a'. Dunque il nu- 

 n 



mero h è rappresentato mediante elementi della serie nuova, la 



quale quindi rappresenta il continuo infinito co. 

 In simboli: 



?<,'«jeQfN.aeQ. Sw=Oa.a'€Oa./'e(NfN)Sim :neN. ^„.v/•„>a':ll^J^^.=a^^ 



.S(i/,v)=Qo wlGO. 



4. Teorema. — Se la serie u rappresenta un continuo^ la 

 somma dei termini di essa che sono minori di un numero qua- 

 lunque b del continuo rappresentato dev'essere = b. 



In generale, indichiamo col simbolo w' {u, k) Yn^^^^° di quelli 

 fra i termini di w, presi nell' ordine della serie, che appar- 

 tengono anche ad una certa classe k di enti u e diamo un'ana- 

 loga definizione dello stesso simbolo anche per il caso di una 

 serie illimitata nei due sensi, quando fra i suoi termini considerati 

 nell'ordine della serie ve ne sia uno che è il primo fra quelli 

 della classe k, cioè uno tale che prima di esso non ve ne siano 

 altri della classe k. In simboli, poniamo 



weQfN./teK'M : 



«eQfN(N o — N) . k^K'u . ^J^ip^^ . u,_^ n A: = a] : 

 .n%u,k) = \xe\m,n€N .u,„ek.n = ì^um{u,„^ìson k): 0„,. «=:«„»]. (Def) 



