360 RODOLFO BETTA ZZI 



L'enunciato del teorema ora detto sarà: 



weQfN . SweCont.òeSw. 0. i n'{u,b — Q)^h. 



»=i 



Invero, se ciò non fosse, un numero e compreso fra i e la 

 somma dei termini <b, non si potrebbe rappresentare, giacche 

 la somma di alcuni o di tutti i termini <b sarebbe, per ipotesi, 

 < e, ed uno qualunque dei restanti, che sono ^ b, non può con- 

 correre che a rappresentare numeri >c. 



5. Teorema. — Ogni serie a termini positivi in cui il li- 

 mite inferiore dei termini è lo zero, se è tale che per ogni numero 

 positivo b non maggiore della somma della serie, la somma dei 

 termini di essa che sono <b è ^h, rappresenta il continuo che ha 

 per estremi lo zero e la somma della serie. 



In simboli: 



ueQtì^.\iUti = Q:beO:Ì'u.^i,.Ìn'{u,b — Q)^b.\^.Su = 0'£u. 



1 n=l 1 



I. Sia dapprima la serie convergente, e ne sia a la 

 somma. In essa dovranno comparire in numero finito i termini 

 maggiori di un qualunque numero: talché, mettendo di seguito 

 i termini uguali, se ve ne sono, possiamo immaginare tutti i 

 termini d'essa serie disposti in ordine non crescente. 



Il numero a e intanto rappresentato dalla serie completa. 

 Se 6 è un numero di Oa, allora o e b stesso un termine della 

 serie, ed è cosi rappresentato, oppure potremo prendere il primo 

 termine m, della serie che sia <b {e che dev'esserci perchè 

 Ij wj^ = 0) e fare la somma di esso con tanti degli immediata- 

 mente seguenti (siano pur tutti, se è necessario) quanti occorrono 

 perchè la somma venga = b (nel qual caso il numero è così 

 rappresentato) o venga <b ma si cambi in >b aggiungendo il 

 seguente, come deve necessariamente accadere essendo la somma 

 dei termini da u^ in poi (termini <b) uguale o maggiore di b 

 per ipotesi, ed avendo già considerato il caso in cui se ne po- 

 tessero sommar tanti (siano pur tutti) da formare h. Avremo 

 dunque: 



