SULLE SERIE A TERMINI POSITIVI, ECC. 361 



La differenza 



n=s-\-r 



n=s 



per la relazione precedente è <Us+r+\- Si operi con h-^ come si 

 è fatto con b: il primo termine della serie che e <hi (e che 

 deve esistere) sarà seguente ad w^+r+i- Se troveremo una somma 

 di termini che sia = h^ , uniremo questi termini a quelli da 

 u, ad UsJ^r ed avremo rappresentato b; altrimenti avremo, ana- 

 logamente, una relazione 



M=SiH-ri n=s,-t-ri-t-l 



5 W„ < &1 < 2 Un, 



con Si > s + r + 1 : talché posto 



Jo = &i — 2 «« = ^ — 2 w„ — 2 w„, 



sarà è2<Ms,4.,i+i- Ripetendo lo stesso procedimento per b^ e così 

 via, accadrà che giunti a bp si trovi una somma di termini 

 (in numero finito od infinito) che uguagli bp, ed allora o 



& = 2 W„ + 2 M,. + + 5 Un , 



n=s n^Si w=«„ 



oppure 



& = 2 «.,. + 5 «» + + 2 Un + 5 w„ ; 



ovvero ciò non accadrà, e si troverà una serie 



nr=s-\-r n=s,-(-ri n=Sp-\-rp 



2 W„ + 2 1^« + + 2 Mu + 



tv=s n^=Si n=Sp 



la cui somma è b, giacche la somma dei suoi primi p termini 

 differisce da b meno del primo termine seguente nella serie », 

 che ha per limite zero. Il numero h è cosi rappresentato ed il 

 teorema è provato. 



