362 RODOLFO BETTAZZI 



II. La serie sia divergente. 



a) Si supponga dapprima che per ogni numero posi- 

 tivo b la somma dei termini della serie data u che sono <b 

 sia infinita. Allora sia a un numero positivo qualunque. Se esso 

 è uno dei termini di u, è senz'altro rappresentato da esso. 



Se a non è uno dei termini della serie, si consideri, nell'or- 

 dinamento in cui essa è proposta, il primo dei termini <a (ne 

 esistono infiniti, essendo li u^ = 0), poi il 2°, il 3", ecc. e som- 

 miamone in quest'ordine tanti quanti ne occorrono perchè la 

 loro somma sia = a, nel qual caso a è rappresentato, oppure sia 

 <a mentre la somma di essi col seguente fra i minori di a sia 

 >a, come deve accadere a causa dell'ipotesi che la somma dei 

 termini <« sia infinita. Avendosi così, in questo secondo caso, 

 per es. 



Us + Mi + tir -j- ... -\- Up < a , U,-\-U(-\- Ur + ... + Wp + W, > tt , 



sarà u^ > -^ , oppure sarà u^ = — , e allora la somma m, + 

 -\- Ut -\- Ur -{- + «p che differisce da a meno di tiq ne diffe- 

 rirà meno di —, e sarà quindi essa > -^. Considerando w, od 



u.A^UiArUr-^- ...A;-Up secondochè siano nel primo o nel secondo 

 caso, si ha un numero che differisce da a per una differenza 



«1 <-|-. Si indichi con Gì il gruppo del solo w,, o di w,, w,, w,., ..., Wp 



risp. nel primo e nel secondo caso. La serie ottenuta da u sop- 

 primendo in essa i termini di Gì è ancora nelle condizioni sup- 

 poste verificate per %i, essendosi in essa soppresso soltanto un 

 gruppo finito di termini: dunque potremo per «i e per tal serie 

 ripetere analoghi ragionamenti e trovare un gruppo G2 costi- 

 tuito da uno più elementi (in numero finito) tutti <ai, la cui 



somma ^ «1 sia > ~: talché la somma dei termini di Gì e di G2 



differisca da a di un numero a2<^> cioè < j. Se questa somma 



non è già =a, sopprimendo in G i termini di Gì e di Gg e colla 

 serie restante operando rispetto ad a-> nel medesimo modo, la 

 somma dei termini di Gì, di G2 e del gruppo G3 che così si 



ottiene sarà a, un numero differente da a meno di -^, cioè 



