SULLE SERIE A TERMINI POSITIVI, ECC. 363 



di ~, e così via dicendo. Si ottiene così che o dopo un numero 



o 



finito di operazioni si giunge ad avere un gruppo finito di ter- 

 mini di u la cui somma sia a, oppure ciò non accade, e si ot- 

 tiene una serie di gruppi Gì, G^, G3, ... tali che la somma dei 



termini di G^ differisce da a meno di —, la somma di quelli di 

 Gì e G2 meno di y, la somma di quelli di Gì, G2 e G3 meno 

 di -5- ecc., talché la somma di tutti è precisamente a. 



o 



È dunque provato che qualunque numero a è rappresentato 

 da una somma da una serie di termini di 11, e. d. d, 



P) Si abbia invece per qualche numero a (e così ac- 

 cadrà allora per ogni numero di Oa) che la somma dei termini 

 di u che sono <a non sia infinita: e si indichi con «0 il limite 

 superiore del gruppo V dei numeri a tali che la somma dei ter- 

 mini di u che sono <a sia finita. Per ipotesi sarà «o >0. 



Può darsi che a^ appartenga al gruppo f, oppure no. Di- 

 stinguiamo i due casi. 



Sia «0 esso stesso tale che la somma dei termini di u che 

 sono <«o sia finita, e precisamente uguale ad A, essendo, per 

 le ipotesi del teorema, A è «o- Non dovrà essere «o infinito, 

 giacche allora sarebbe A la somma di tutti i termini di u, la 

 quale serie si è invece supposta divergente. Per le ipotesi del 

 teorema, e per la prima parte dell'attuale teorema già provato 

 per le serie convergenti, i termini <ao costituiscono una serie 



che rappresenta il continuo OA. Dovendo invece la somma dei 

 termini di u che sono <aQ-\-h {h qualunque positivo) essere in- 

 finita (per il significato dato ad Uq) dovrà essere infinita la 

 somma dei termini che non sono <ao ma che sono <«o-h^'' 

 I termini = Gq devono dunque essere in numero infinito , op- 

 pure devono essere in numero infinito i termini > Gq, ed 

 avere «« per limite inferiore. Secondo il § 3, aggiungendo alla 



sene che rappresenta il continuo OA di cui (essendo Aè,ao) fa 

 parte Uq, gli infiniti altri termini di Gì, la serie così ottenuta, 



che sarà la primitiva w, rappresenta il continuo 00. 



Sia invece «0 tale che la somma dei termini di u che sono 

 <«o sia infinita, mentre, secondo la data definizione di ao, la 



