364 RODOLFO BETTAZZI 



somma di tutti i termini di u che sono inferiori ad un numero 



qualunque positivo <ao, p. es, Uq — €, è finita. Allora la somma 



dei termini di u che sono < a,, — e è una funzione di e sempre 



non decrescente al decrescere di e, e che quindi ha un limite per € 



tendente a zero. Tale limite dev'essere -\- oo: perchè se fosse L, 



numero finito, la somma dei termini di u minori di un numero 



qualunque <ao sarebbe ^L, il che equivarrebbe a dire che sarebbe 



^L la somma dei termini <ao, contro l'ipotesi. Allora, preso 



b qualunque si può trovare e tale che la somma dei termini 



di u che sono <%, — ^ sia >b, e, p. es., =B: e tali termini 



per le ipotesi del teorema e per la parte I già dimostrata co- 



1 — I 

 stituiscono una serie che rappresenta il continuo OB, del quale 



fa parte b : dunque b è rappresentabile con alcuni dei termini 

 di w. Così colla serie u si rappresenta qualunque numero posi- 

 tivo, e. d. d. 



6. — Il teorema precedente con quelli dei §§ 1 e 4, pro- 

 vano che 



La condizione necessaria e sufficiente acciocché una serie 

 di termini positivi rappresenti un continuo, è che il limite infe- 

 riore dei suoi termini sia lo zero, e che per qualunque numero b 

 non maggiore della somma di essa, la somma dei termini della 

 serie che sono <b sia ^ b. 

 In simboli: 



«eQfN.o.-.SweCont.= :li«N— O.|6e0 2w.0t"5«'(w,&— Q) >&]. 



7. — Dai teoremi precedenti discendono i seguenti corollari: 



Corollario 1°. — Se una serie a termini positivi rappresenta 

 un continuo, lo stesso accade della serie ottenuta da esso prenden- 

 done i termini minori di un numero dato qualunque. 



In simboli: 



weQfN . SweCont . &eQ . veQm : weN . o,. . v„ = n\u, b — Q).\ o,, . Sve Cont. 



Corollario 2**. — Una serie divergente di cui i termini si 

 possano ordinare in modo non crescente e, così ordinati, tendano 



a zero, rappresenta il continuo oo : giacche la somma dei ter- 



