366 KODOLFO BETTAZZI 



in uno in due sensi, i cui termini vadano non crescendo. In- 

 fatti la condizione è allora verificata per un numero qualunque b 

 non maggiore della somma della serie , quando lo è pei soli ter- 

 mini di essa; giacche il numero h, se non è esso stesso un ter- 

 mine della serie, o è maggiore di tutti, ed allora la somma 

 dei termini minori di esso è la somma della serie, non minore di 

 esso per ipotesi: o non è maggiore di tutti, ed allora è com- 

 preso fra due termini consecutivi Up ed Up.^\ disuguali, e i ter- 

 mini minori di esso sono quelli minori di Up, la cui somma, per 

 ipotesi ^Wp, è anche perciò >h. Si conclude il 



Teokema. — La condizione necessaria e sufficiente acciocché 

 ima serie i cui termini si possono disporre in forma di serie illi- 

 mitata in un sol senso o in due sensi e non crescente^ rappresenti 

 un continuo^ è che il limite inferiore dei suoi termini sia lo zero, e 

 che per ogni suo termine Up la somma dei termini <Up sia =Up. 



In simboli: 



Me(QfN) deco . 



[)/. Sue Coni. = 

 we[Qf(Nu — N)].deco. 



= :1iWk = 



l . 2 M* (w, Up — Q)^ Up 

 .^e(Nu — N). ^ "=^ 



CoEOLLAEio. — Se ima serie è convergente, è condizione ne- 

 cessaria e sufficiente affinchè essa rappresenti un continuo, che per 

 ogni suo termine Up la somma dei termini <Up sia = u^ : giacche 

 per la convergenza dev'essere 1^ m.v = 0, e, essendo in numero 

 finito i suoi (termini maggiori di un qualunque numero, i termini 

 possono tutti disporsi in modo non crescente. 



In simboli: 



i^eQfN. 5«eQ : . SweCont . = 



1 



i^eN . Op . 5 n\u,Up — Q) è «p . 



9. Teorema. — Se in una serie u si ha che 1iUn = e che 

 per ogni suo termine Up la somma dei termini <Up è uguale ad Up, 

 la serie rappresenta un continuo. 



