SULLE SERIE A TERMINI POSITIVI, ECC. 367 



In simboli: 



weQfN . 1iWn= 



peN . Op.'^n'{u,u^ — Q)= Up 



lO.SweCont. 



Ed invero è facile vedere che per ogni numero b non mag- 

 giore della somma della serie è soddisfatta la condizione richiesta 

 dal teorema del § 5. Ciò è chiaro se b uguaglia qualche termine 

 della serie od è maggiore di tutti. Se b non è in queste con- 

 dizioni, sia L il limite inferiore dei termini di u che sono >6: 

 se L non è termine di u, vi sono infiniti termini di u compresi 

 fi-a L ed L-\-h [h positivo qualunque), e se Up è uno di essi, vi 

 sono infiniti termini compresi fra Wp ed L, e quindi la somma 

 dei termini di u che sono <Up e infinita, contro l'ipotesi che 

 sia = Up . Dovrà quindi essere L un termine w., di u, e sarà 

 quello immediatamente precedente a è, talché i termini di u 

 che sono <b sono quelli <w,, e quindi la loro somma, che per 

 ipotesi è =w,, è >b, come si voleva. 



10. — È interessante studiare la costituzione delle serie u 

 nelle condizioni accennate nel teorema del § 9 : esse si diranno 

 per brevità serie minime. 



In simboli: 



weQfN . .•. Me Serie minima . = : ì^u^ =: 

 i^eN . Op . :En'{u,u^ — Q) = t 



>i=i 



(Def) 



Se Up, w, sono due termini disuguali di esse, e p. es. Up>Uq, 

 essendo uguali ad tip ed u^ risp. le somme dei termini <Wp e 

 di quelli <Uq, sarà uguale ad Up — m, le somme di quelli <Up 

 e ^M, , i quali dunque dovranno essere in numero finito o man- 

 care. Si ha intanto che dovranno essere in numero finito i ter- 

 mini uguali ad un medesimo, eccezione fatta per quelli uguali 

 al termine massimo, se c'è, i quali potranno anche essere infi- 

 niti. Si conclude anche che tutti i termini di una serie minima, 

 minori di uno fra essi, si potranno disporre in una serie ordi- 

 nata in modo non crescente: e quindi se vi è un numero finito 



