SULLE SERIE A TERMINI POSITIVI, ECC. 371 



12. Teokema. — Se una serie rappresenta un contimio, i 

 numeri di questo continuo rappresentati da un gruppo finito di 

 termini della serie si possono rappresentare anche con serie di in- 

 finiti fra i termini della serie stessa. 



In simboli: 



weQfN . SweCont : o .-. weN . /"eCNfZJSim : On.f 



' aA. e 



/•i€(NfN)Sim.5%,=^5w;- 



1 



Ed infatti sia a un numero uguale alla somma di un gruppo 

 finito G di termini di m: e sia u, uno (o quello) di essi che non 

 sia maggiore di nessuno degli altri. I termini di u che sono <u, 

 non compariscono fra quelli di G, e costituiscono una serie u' 

 rappresentante un continuo (§ 7, Cori"), la cui somma dev'essere 

 (§ 4) maggiore od uguale ad u,, talché Us fa parte del continuo 

 da essa rappresentato. Potremo quindi in G sostituire ad w, la 

 parte di u che lo rappresenta. Se questa è una serie, il teo- 

 rema è provato : altrimenti si ripeterà il procedimento per u^ e 

 così via indefinitamente, o fino a che si abbia una parte rap- 

 presentativa che sia una serie. In ogni caso si ottiene la rappre- 

 sentazione voluta. 



CoKOLLARio. — Se una serie rappresenta un continuo, lo rap- 

 presenta anche prendendo in essa le sole serie infinite di termini. 

 In simboli: 



weQfN . SiteCont . xe'^u : 3. a;/"e 



/•e(NfN)Sim.ic = 2w/- 



13. Teorema. — Fra le serie rappresentative di continui le 

 serie minime sono tutte e sole quelle nelle quali ogni numero può 

 esser rappresentato in un modo solo, fatta eccezione pei numeri 

 uguali alla somma di un numero finito di termini che possono es- 

 sere anche rappresentati in altro modo (§ VI), ma in un altro solo, 

 con un numero infinito di termini, sostituendo ad uno dei termini 

 che non sono maggiori degli altri, tutti i minori di esso nella 

 serie data. 



