SULLE SERIE A TERMINI POSITIVI, ECC. 373 



L'unico caso in cui sia b = e e quello in cui in b dopo Wi^^, 

 non vi siano altri termini, e in e a cominciare da Wc^^i vi siano 

 tutti i termini di u che sono < Ubp^^. 



In ogni altro caso dunque due numeri b e e, rappresentati 

 da termini non tutti identici sono disuguali: cioè ogni nu- 

 mero può essere rappresentato scomposto in un modo solo, 

 eccetto quelli (che formano soltanto un gruppo numerabile) equi- 

 valenti alla somma di un numero finito di termini, pei quali vi 

 sono due modi diversi. 



II. Nelle serie capaci di rappresentare un continuo, ma 

 che non sono serie minime, la precedente proprietà piìi non 

 sussiste. 



Se, p. es.; u,, è un termine di u tale che la somma dei ter- 

 mini minori di esso e >Up e precisamente è Up-\-b {b>0) o e co, 

 siccome i termini di u che sono <Up costituiscono essi stessi 

 una serie u' che rappresenta un continuo (§ 7, Cori") il quale 

 è risp. Up^b oo, da u' si potranno estrarre termini (non 

 certamente tutti) la cui somma sia iip: e quindi il numero Up e 

 rappresentato e dal termine Up di u, e da una somma o serie 

 estratta dai termini <Up, e che non e la serie di tutti i nu- 

 meri <Up. 



E parimente se b^ ^ b, allora by, che è del continuo iip-\-b 

 o risp. co , si esprimerà mediante alcuni termini (non tutti) di 

 quelli <Up: i quali uniti ad Up daranno una rappresentazione 

 del numero w^+^i- Un'altra di esso si ha dai soli termini <Mp, 

 coi quali si rappresenta ogni numero del continuo Up-{-b, e 

 le due rappresentazioni sono diverse, giacché questa seconda 



non contiene Up, e la prima lo contiene. 



I 1 ^ I — I 



Tutti i numeri, dunque, del continuo Up Up-\-b, o risp. Wp oo, 



hanno per lo meno due modi di rappresentazione, e non tutti 

 nel modo indicato nel teorema. Tali numeri inoltre, costitui- 

 scono un gruppo continuo, che è dunque di potenza superiore 

 alla prima, mentre è di potenza prima quello dei numeri con 

 doppia rappresentazione nelle serie minime. 



14. — Le serie divergenti che si possono ordinare in modo 

 non crescente e i cui termini così ordinati tendono a zero, rap- 



