SOPRA UNA CLASSE DI EQUAZIONI DINAMICHE 473 



Supponiamo che esista un integrale di secondo grado 



(26) F{qi,q2,q;...) = C0st. 



Per mezzo di una sostituzione ortogonale nelle q, potrà 

 sempre ridursi questo integrale a mancare dei termini conte- 

 nenti i rettangoli delle variabili senza che perciò si alteri la 

 forma delle equazioni (H"), ne quella dell' integrale (25). Po- 

 tremo dunque supporre senz'altro che l'integrale (26) abbia la 

 forma 



(26') F = y (Xi 5? + \, ql + ...) + Mi !Z. + M2 ^2 + - = cost . 



Ammettiamo che le XijXj... siano tutte diverse fra loro; 

 moltiplicando respettivamente le (H") perXjgs-j-Ms e sommando 

 si avrà, in virtù della (26'), 



(27) 2, 2,- 2r K «w? qs q, qr = 



(27') 2. 2,0 2r a%] \x, g,. g, + 2. 2,, è,,.- X, q, q, = 



(27") 2. 2fc bs. III. qu = 0. 



Dalle (27) segue 



{K - K) a^2 + (X. - X,) ai^,' + (X, - X,) a^]. = 

 e quindi 



O'Ik = Csfcr -\- Xr Dsi-r 



ove le Csfcr e D.^r cambiano segno per ogni trasposizione degli 

 indici. 



La (27') dunque si scriverà 



2. 2a- q, qu [hsic — 2. Mr D,,t, j X, = 

 e quindi 



(X, - X,) [6,, - I, M, D,„.] = 

 da cui segue 



