GRUPPI CONTINUI PKIMITIVI DI TRASFORMAZIONI CREMONIANE, ECC. 481 



classificazione, dovuta al sig. Lie, dei gruppi continui primitivi 

 di trasformazioni puntuali dello spazio (^); e quest' ultima pre- 

 suppone a sua volta lunghe ricerche sui gruppi continui irridu- 

 cibili di trasformazioni di contatto del piano (non riducibili cioè 

 ad estensioni di gruppi puntuali) (-). Non sarà quindi inutile il 

 mostrare come allo stesso nostro risultato sui gruppi cremoniani 

 primitivi si possa anche giungere per una via piìi diretta, senza 

 valersi di tante altre ricerche, ma ricorrendo soltanto (come io 

 già feci pei gruppi cremoniani del piano) a un unico teorema 

 (molto piìi semplice) del sig. Lie, già dimostrato per un numero 

 qualunque di variabili (^). 



Questa dimostrazione diretta verrà data appunto nel pre- 

 sente lavoro. E, per mezzo di essa, noi preciseremo anche ul- 

 teriormente il risultato già ottenuto dal sig. Enriques e da me, 

 determinando in pari tempo i singoli gruppi tipici (proiettivi e 

 conformi) birazionalmente distinti^ ai quali tutti i gruppi continui 

 primitivi di trasformazioni cremoniane possono riconditrsi. Questi 

 gruppi (come si potrebbe anche facilmente dedurre dal risultato 

 già noto) sono quelli stessi che sono distinti dal punto di vista 

 delle trasformazioni puntuali, e furono già come tali enumerati 

 dal sig. Lie (*), più il gruppo oo<^ delle trasformazioni coìtformi che 

 lasciano fissa una data sfera (non nulla) {^). In un altro lavoro 

 mi occuperò della determinazione dei diversi tipi di gruppi di 

 Jonquières generalizzati; questione interessante, ma piuttosto 

 lunga e complicata. 



Anche in questo lavoro farò costantemente uso (come in 



(') Theorie der Trans f or mationsgruppen, voi. Ili, pp. 122-140. Così pure 

 vi occorrono le ricerche del Sig. Enriques sui sistemi lineari di superficie 

 a intersezioni variabili razionali (" Rend. Acc. dei Lincei „, dicembre 1893, 

 nota (3) a p. 282; " Mathem. A.nn. „ voi. 46). 



(^) Theorie der Trmtsformationsgruppen, voi. II, cap. 23, 24. 



O Op. cit., voi. I, p. 631. 



Op. cit., voi. Ili, p. 139. 



Come è già detto (ma non dimostrato) in EF, § 6. — Desidero anche 

 avvertire esplicitamente, ch'io non intendo certo che questa nuova dimo- 

 strazione sia preferibile all'altra contenuta in EF, §§ 4-6; ma ho creduto 

 che valesse forse la pena di far conoscere anche queste ricerche, le quali 

 formarono un sol gruppo con quelle che concorsero alla Memoria pubbli- 

 cata negli Annali di Matematica. 



