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EF; cfr. in part. § 2) della possibilità di ricondurre birazional- 

 mente ogni gruppo cremoniano continuo dello spazio a un gruppo 

 proiettivo sopra un'opportuna varietà M3 di un certo spazio S^ 

 (rappresentabile sopra S3 in modo che quel -gruppo cremoniano 

 e questo gruppo proiettivo vengano a corrispondersi). Suppor- 

 remo pure i nostri gruppi algebrici (cfr. E F, § 1), e ci varremo, 

 ogni qual volta sarà necessario, delle osservazioni enunciate in 

 EF, §§2, 3. 



2. — Come già in altre ricerche, sarà anche qui per noi 

 fondamentale la considerazione del gruppo proiettivo che il gruppo 

 proposto subordina nell'intorno di un punto generico dello spazio 

 imposto come unito. 



Consideriamo un gruppo continuo qualunque G di trasfor- 

 mazioni cremoniano dello spazio, e indichiamo con k la sua di- 

 mensione. Fra le operazioni di esso ve ne saranno allora almeno 

 co''-' che lasciano fisso un punto generico P; e anzi precisa- 

 mente tante, se il gruppo stesso è transitivo (il che richiede 

 k > 3), Queste operazioni formeranno un sottogruppo che permu- 

 terà le 00 2 direzioni uscenti da P secondo le operazioni di un 

 certo gruppo proiettivo (il quale potrebbe tuttavia ridursi alla 

 sola trasformazione identica). Supposto per il momento che que- 

 st'ultimo gruppo sia anch'esso continuo, potremo concludere, per 

 le note proprietà dei gruppi continui proiettivi in una forma 

 fondamentale di 2* specie, che dovrà presentarsi uno dei quattro 

 casi seguenti (^): 



1° Le 00 2 direzioni uscenti da P verranno permutate se- 

 condo tutte le possibili 00 § proiettività della loro stella; 



2° Vi sarà in questa stella almeno una direzione fissa 

 uscente da P; 



3<* Verrà trasformato in sé il sistema delle 00 1 direzioni 

 uscenti da P e contenute in un certo piano (formanti cioè un 

 fascio) — senza però che sia fissa alcuna direzione, contenuta 

 no in questo piano — ; 



■k'^ infine verrà trasformato in sé un cono quadrico ele- 

 mentare di direzioni uscenti da P (potendosi anche supporre che 



(') Cfr. anche Lie, op. cit., voi. Ili, p. 124. 



