GRUPPI CONTINUI PRIMITIVI DI TRASFORMAZIONI CREMONIANE, ECC. 483 



non sia contemporaneamente fissa nessuna direzione e nessun 

 fascio di direzioni entro la stella P). 



Si vede facilmente che il gruppo proposto G sarà certo ^n- 

 mitivo nel 1° e nel 4° caso, e imprimitivo nel 2° (perchè in questo 

 caso le direzioni fisse condurrebbero per integrazione a una con- 

 gruenza di linee invariante). Nel 3° caso dovrà venir trasformata 

 in se una certa equazione Pfaffiana: 



, X {x,ij,z) dx -{- Y {x,y,z) dx -f- Z {x,y,z) dz :=()-, 



e il gruppo G sarà primitivo o imprimitivo secondo che quest'e- 

 quazione Pfaffiana sarà non integrabile oppure integrabile. — 

 fSe il gruppo Gr è primitivo, esso sarà pure transitivo; e dalla 

 dimensione [k — 3 > 8, 5, 3) del sottogruppo che se ne stacca 

 col fissare il punto generico P si può già concludere che nel P, 

 3^ e 4° caso sarà rispett. A; < 11, 8, 6, 



Però il gruppo Gr, pur essendo continuo, potrebbe subordi- 

 nare nella stella delle direzioni uscenti da P un gruppo proiet- 

 tivo non più continuo, ma bensì misto (^), o composto soltanto 

 di un numero finito (> 1) di operazioni. In tal caso, con un 

 ragionamento analogo a quello che fu già applicato dal Klein 

 alle forme di prima specie (^), si vedrebbe facilmente che nell'in- 

 torno del punto P sarebbe certo fissa o una direzione, o un si- 

 stema di un numero finito di direzioni (eventualmente anche 

 permutabili fra loro); con che il gruppo G risulterebbe im- 

 primitivo. 



Concludiamo perciò che, se il gruppo G è primitivo, esso deve 

 subordinare nell'intorno di un punto generico P, imposto come 

 unito, un gruppo proiettivo continuo del 1°, 3^ o 4'' fra i tipi 

 dianzi enumerati. Dovremo quindi esaminare successivamente 

 questi tre casi. 



(') Questo caso non è indicato come possibile dal Sig. Lie. ma può 

 effettivamente presentarsi; si presenta ad es. se G è il gruppo oo' di tutte 

 le trasformazioni proiettive che mutano in se un dato cono quadrico. 



(^) Cfr. il Princip der Fixpunkte (Hdhere Geometrie, II, autogr. Vorl., 

 1893, pp. 275-76). 



