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3. — Si abbia un gruppo continuo G di trasformazioni cre- 

 nioniane dello spazio, il quale subordini nella stella delle dire- 

 zioni uscenti da un punto generico P l' intero gruppo proiet- 

 tivo co* di questa stella. % 



Ricorriamo (come già si è avvertito) a un teorema gene- 

 rale del sig. LiE (1), secondo il quale un gruppo continuo di 

 trasformazioni puntuali di uno spazio qualunque, il quale nell'in- 

 torno di un punto generico, imposto come unito, subordini il mas- 

 simo gruppo proiettivo possibile (per lo spazio S3 dunque un 

 gruppo 008), si può ridurre con un' ulteriore trasformazione pun- 

 tuale a un gruppo proiettivo, e precisamente al gruppo proiettivo 

 totale, ovvero al gruppo lineare generale speciale. Si tratta ora 

 di far vedere che nello spazio S3 (come pure nel piano, e lo si 

 dimostrerebbe anche facilmente per uno spazio qualunque) se il 

 gruppo proposto si compone di trasformazioni cremoniane, esso 

 deve potersi ridurre a uno dei tre gruppi proiettivi nominati con 

 una trasformazione pure cremoniana (anziché semplicemente 

 puntuale). Indicata pertanto con S~^ una trasformazione puntuale 

 (certo esistente) la quale muti il gruppo cremoniano G in un 

 gruppo proiettivo G' (oo^», oo^^ ooi^), basterà dimostrare che la 

 sua inversa S fa corrispondere al sistema oc^ dei piani, invariante 

 rispetto a G', un sistema lineare omaloidico di superfìcie, il quale 

 sarà invariante rispetto a G: da ciò seguirà appunto che S, e 

 quindi S~\ sono trasformazioni birazionali. 



4. — Poiché vi sono in G' infinite trasformazioni che la- 

 sciano fìssi tutti i punti di un piano generico, così in G ve ne 

 dovranno essere pure infinite per le quali siano fissi tutti i punti 

 di una qualunque delle superficie qp, trasformate dei piani me- 

 diante S. Le 9 saranno dunque superficie algebriche (per l'ultima 

 osservazione contenuta in E F, § 3) ; e saranno pure razionali, 



(') Op. cit., voi. I, p. 631. 



