GRUPPI CONTINUI PRIMITIVI DI TRASFORMAZIONI CREMONIANE, ECC. 485 



perchè G subordina su ciascuna di esse un gruppo transitivo 

 primitivo di trasformazioni birazionali (J-). 



Cosi pure, essendovi in G' infinite trasformazioni che lasciano 

 fissa una retta qualunque e ne permutano ancora i vari punti 

 in infiniti (anzi in almeno oo-') modi diversi, si conclude che le 

 intersezioni delle superfìcie qp a due a due sono curve algebriche 

 e con infinite (anzi almeno oo^) trasformazioni proiettive in se; 

 dunque curve razionali (e normali pei rispettivi spazi). 



Infine, ciascuna cp è incontrata dalle rimanenti secondo un 

 sistema di sole oo^ curve razionali (trasformate mediante S delle 

 rette di un certo piano) ; e questo sistema è invariante rispetto 

 al gruppo primitivo subordinato da G su quella qp. Da ciò si trae 

 che il detto sistema di oo^ curve su qp è una rete omaloidica 

 (perchè il gruppo di trasformazioni birazionali subordinato da G 

 sulla qp è equivalente a un gruppo proiettivo primitivo del piano ; 

 gruppo che non trasforma in sé nessun sistema oo^ di curve, 

 all'infuori del sistema delle rette). Tre qp generiche hanno dunque 

 un solo punto variabile comune (perchè così avviene delle curve 

 intersezioni di due di esse colla terza); e perciò le qp formano 

 un sistema lineare omaloidico, come appunto si voleva dimo- 

 strare. 



Concludiamo pertanto: / gruppi cremoniani corrispondenti 

 al P caso del n° 2 sono riducibili birazionalmente a gruppi 

 proiettivi, e precisamente al gruppo totale oo^s, al gruppo li- 

 neare 00^2^ al gruppo lineare speciale oo^i. 



II. 



5. — Supponiamo ora che il gruppo cremoniano proposto 

 subordini nell'intorno di un punto generico, imposto come unito, 

 un gruppo proiettivo (oo'^o ooS) il quale non trasformi in sé 

 nessuna direzione uscente da questo punto, bensì però un fascio 

 di tali direzioni. Faremo vedere che i gruppi di questa categoria 



(') Dalle ricerche dei Sigg. Castelnuovo e Enriques (" Compt. Rend. de 

 l'Ac. des Sciences „, luglio 1895) risulta infatti che, se una superficie alge- 

 brica non razionale ammette infinite trasformazioni birazionali in se, queste 

 formano sempre un gruppo imprimitivo. 



