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sono tutti di un tipo unico, e si possono ridurre birazioncdmente 

 al gruppo proiettivo oo^o di un complesso lineare non speciale. 



Abbiamo già detto (cfr. n" 2) che in questo caso deve venir 

 trasformata in se stessa un'equazione Pfaffiana non integrabile, 

 e riducibile quindi (come un'opportuna trasformazione) alla forma 

 dz — ydx = 0, che è l'equazione differenziale di un complesso 

 lineare non speciale (^). Il sig, Lie, valendosi dei risultati otte- 

 nuti sui gruppi continui irriducibili di trasformazioni di contatto 

 del piano, ha dimostrato che con quella stessa trasformazione 

 ogni gruppo continuo primitivo di trasformazioni puntuali, ri- 

 spetto al quale sia invariante l'equazione Pfaffiana considerata, 

 deve necessariamente ridursi al grupppo oo^o delle proietti- 

 vita che trasformano in se il complesso lineare definito dalla 

 dz — ydx = 0. Si potrebbe ora far vedere che, se il gruppo (pri- 

 mitivo) proposto si compone di trasformazioni birazionali, esso 

 deve potersi ridurre a questo gruppo proiettivo oo^o con una 

 trasformazione anche birazionale ; ma noi tratteremo invece la 

 questione direttamente, senza valerci del risultato già noto pei 

 gruppi puntuali. 



6. — Ci converrà perciò riferirci a una varietà razionale M3 

 di un certo spazio S^ {r > 4 (-)), la quale possa rappresentarsi 

 sullo spazio S3 in modo che al gruppo cremoniano proposto cor- 

 risponda su di essa un gruppo proiettivo G (di dimensione k > 8). 



Un prim.o punto che ci importa stabilire è il seguente: 



Le oo*~^ trasformazioni del gruppo G che lasciano fisso un 

 punto generico P della varietà M3 trasformano in sé stessa anche 

 una certa superficie contenuta nella M3 e passante per P. Faremo 

 poi vedere che, variando P, questa superficie descrive, entro la 

 varietà M3, un sistema lineare omaloidico (che sarà certo inva- 

 riante rispetto a G) : di qui seguirà appunto la riduzione di G, 

 e quindi del gruppo cremoniano proposto, a un gruppo proiet- 

 tivo di S3. 



Le 00 ''"^ operazioni di G che lasciano fisso il punto gene- 

 rico P su M3 formano un sottogruppo H, il quale trasforma in sé 



(^) Lie, Geometrie der Beruhrimgstransfortnationen, p. 206. 

 Escludiamo per ora il caso r>- 3, per evitare talune complicazioni; 

 vedremo poi che a questo caso si riducono tutti gli altri. 



