GRUPPI CONTINUI PRIMITIVI DI TRASFORMAZIONI CREMONIANE, ECC. 487 



stesso lo spazio Sg tangente in P alla Mo,, e cosi pure un piano tt 

 passante per P e contenuto in questo S3 , ma non lascia ancora 

 fissa nessuna retta del fascio P (ti). Una qualunque di queste 

 rette sarà fissa per un ulteriore sottogruppo H', soltanto co''"*, 

 il quale subordinerà gruppi integrabili nel piano tt e nello 

 spazio S3 tangente alla M3 in P. Io dico ora che questo gruppo H' 

 deve essere esso stesso integrabile. Evidentemente da H' noi pos- 

 siamo staccare dei sottogruppi invarianti, di dimensioni decre- 

 scenti di un'unità per volta, fino ad avere un gruppo per il 

 quale siano fìssi tutti punti dello spazio S3 considerato (tangente 

 in P alla Mg) ; basterà quindi far vedere che quest'ultimo gruppo 

 deve anche essere integrabile. 



E infatti, se questo gruppo non fosse integrabile, esso do- 

 vrebbe contenere (almeno) un sottogruppo semplice oo^ (H"), il 

 quale lascerebbe ancora fissi tutti i punti dello spazio S3 tan- 

 gente in P alla nostra M3 — eventualmente anche di un 

 Sfc [h >3) contenente tale S3 — , e lascerebbe del pari fisso uno 

 spazio Z,._/,_i non incontrante questo S^, con tutti gli S, ,, per 

 esso (1). Fra questi S,_;,, quelli che proiettano i singoli punti 

 della varietà M3 dovranno tutti incontrare questa varietà in 

 superficie passanti rispett. per questi punti (non già in curve 

 in numero finito di punti, perchè su tali enti il gruppo H" non 

 potrebbe operare in modo oo^). In particolare lo spazio S,._h 

 passante per P incontrerà la M3 secondo una superficie pas- 

 sante per P stesso; sicché tutte le tangenti in P a questa su- 

 perficie, essendo contenute in quell'S^- , dovranno incontrare lo 

 spazio Ir-h-i- D'altra parte queste tangenti devono anche stare 

 nello spazio S3 tangente in P alla Mg, il quale non incontra 

 51,._h_i. Siamo dunque caduti in un assurdo, e perciò il gruppo 

 H' sarà necessariamente integrabile, e. s. v. d. 



7. — Poiché dunque il gruppo H' è integrabile, esso am- 

 metterà tutta una serie di spazi fissi Si , So, ... Sr_i passanti 

 per P, di cui ciascuno conterrà i precedenti. Fra questi spazi 

 consideriamone uno (certo esistente) il quale incontri la varietà 



(') LiE, Theorie dei- Transfovmationsgruppen, voi. Ili, pp. 757, 78.5. Cfr. 

 anche la mia Memoria: Sulle varietà algebriche con un grupiìo continuo non 

 integrabile di trasformazioni jyroiettive in sh (" Mem. Acc. di Torino „, 1895-96). 



