488 GINO FANO 



M3 secondo una linea (e non una superficie) passante per P ; e 

 indichiamo con t questa linea (0, eventualmente, una parte ir- 

 riducibile di essa, anche passante per P). — Questa linea y 

 (certamente algebrica) sarà invariante pel gruppo H', e toccherà 

 in P l'unica retta invariante del fascio P (tt) — che è anche la 

 sola tangente fissa della Mg — ; essa varierà però al variare di 

 H' entro il gruppo H ( 00 '^~^), perchè varia appunto, entro una 

 serie coi, questa sua tangente. Variando, essa assumerà oo^ 

 posizioni diverse, luogo delle quali sarà una superficie cp, tan- 

 gente in P al piano rr, e invariante rispetto ad H. Con ciò è 

 appunto dimostrato quanto ci eravamo proposti al principio del 

 n° prec. 



Su questa superficie qp (che sarà algebrica, perchè luogo di 

 una serie razionale 00 1 di curve algebriche) sarà pure invariante 

 rispetto ad H il sistema coi delle curve t, le quali verranno per- 

 mutate da H stesso in tutti gli c»3 modi possibili, come le rette 

 del fascio P (tt) ad esse rispett. tangenti. 



Variando P, varierà naturalmente la superficie cp, assumendo 

 in tutto oo3 posizioni diverse, perchè se no le curve superficie 

 luoghi di punti P corrispondenti a una stessa cp costituirebbero 

 nella varietà Mg un sistema d' imprimitività pel gruppo G. — 

 Resta a mostrare che questo sistema 00 ^ è un sistema lineare 

 omaloidico. 



8. — Nel piano tt passante per il punto P lo stesso gruppo H 

 già considerato (che è almeno oo^) subordina un gruppo proiet- 

 tivo, per il quale è unito il punto P, ma non è fissa nessuna 

 retta del fascio P (tt). — Non si può invece escludere a priori 

 che vi sia in tt una retta fissa non passante per P : se non ve 

 n'è alcuna, il gruppo subordinato da H in tt sarà oot^ oo^, 

 mentre sarebbe soltanto od'^ oo^ in caso contrario. 



D'altra parte sappiamo che nella stella ( co-) delle rette 

 tangenti in P alla varietà Mg il gruppo H subordina almeno oo^ 

 trasformazioni diverse. Se dunque in tt ne fossero subordinate 

 sole o)^, meno, si avrebbero in H infinite trasformazioni, per 

 le quali sarebbero fissi tutti i punti del piano tt e non tutte le 

 direzioni uscenti da P sulla varietà Mg. Noi dimostreremo ora 

 che questo non può avvenire; e ne verrà perciò di conseguenza: 

 1° che il gruppo H subordinerà in tt un gruppo proiettivo co'* oc^ 



