GRUPPI CONTINUI PRIMITIVI DI TRASFORMAZIONI CREMONIANE, ECC. 489 



avente il punto P come solo elemento unito; 2° che lo stesso gruppo H 

 subordinerà su ciascuna retta del fascio P (tt), e quindi anche su 

 ciascuna curva t della superficie qp, tutte le co^ proiettività aventi in 

 P un punto unito. Le t saranno pertanto curve razionali (e nor- 

 mali), e razionale sarà pure la superficie cp. 



Supponiamo dunque che vi sia in H un sottogruppo con- 

 tinuo Ho (almeno qo^, e necessariamente invariante entro H), le 

 cui operazioni lascino fìsso ogni punto del piano tt; dico che per 

 queste stesse operazioni devono risultar fisse anche tutte le tangenti 

 alla varietà M3 nel punto P. Infatti le operazioni del gruppo Ho 

 lasceranno fissi tutti i punti di ogni curva t uscente da P 

 (perchè sono tali tutti i punti della tangente in P a ciascuna 

 di queste curve) ; saranno dunque fissi rispetto a Ho tutti i punti 

 della superficie qp uscente da P. — Di qui si trae che saranno 

 pure fisse per Ho tutte le oo^ superficie cp', analoghe a cp, uscenti 

 dai punti di cp stessa, e quindi ancora le curve ò mutue inter- 

 sezioni di queste superficie; sicché Ho sarà un gruppo doppia- 

 mente ifitransitivo, avente queste (oo^) curve ò come traiettorie 

 fisse. — Infine, la superficie qp" analoga a cp e q?', uscente da 

 un punto generico della varietà M3 (fuori di cp), pur non essendo 

 fissa, dovrà tuttavia variare in modo da incontrare sempre la cp 

 (che è luogo di punti uniti) secondo una medesima curva (luogo 

 anche di punti uniti) ; essa dovrà dunque descrivere un sistema 00 ^ 

 (e precisamente un fascio) contenente la stessa qp. Di qui si trae 

 che le co 2 curve b (ciascuna delle quali è luogo del punto cor- 

 rispondente a una qp" variabile) dovranno tutte passare per P. 

 Saranno dunque fisse per H,, tutte le tangenti in P a queste oo^ 

 curve; e siccome Hq è contenuto invariantivamente in H, così 

 ogni operazione di H dovrà ancora trasformare in se, se non 

 ciascuna di queste tangenti , certo l' insieme di esse. Ora , 

 nella stella oo^ delle tangenti in P alla varietà M3, sono in- 

 varianti rispetto ad H solo l'intera stella, e il fascio di quelle 

 tangenti che stanno in ir: e una curva b generica non può 

 essere tangente a una retta del fascio P (ir), perchè se no essa 

 sarebbe anche, come le t, luogo di punti uniti per l'intero 

 gruppo Ho. 



Le tangenti in P alle 00=^ curve ò esauriranno dunque il si- 

 stema delle tangenti in P stesso alla varietà M3 ; e perciò ogni 



