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operazione del gruppo Ho lascerà pure fisse tutte queste tan- 

 genti (1). 



9. Le cose dette finora ci conducono a una rappresenta- 

 zione birazionale semplicissima della superficie cp, invariante 

 pel gruppo H, sul piano tt ad essa tangente. Ogni punto di qp (o 

 di tt) diverso da P è infatti unito per oo*~^ operazioni di G — 

 ossia di H — ; e queste stesse operazioni lasciano anche fissa la 

 curva T di quella cp (la retta del fascio P (tt) ) passante per il 

 punto considerato, quindi ancora la retta del fascio P (tt) {la 

 curva T della superficie cp) tangente in P a questa curva (a questa 

 retta), e un determinato punto di questa tangente (di questa 

 curva t), ossia del piano tt (della superficie cp) ; punto che si 

 assumerà come omologo al primo. La superficie cp risulta così 

 riferita birazionalmente al piano tt, in modo che alle curve t cor- 

 rispondono le rette del fascio P; e questa corrispondenza tras- 

 forma precisamente l'uno nell'altro i gruppi proiettivi subordi- 

 nati da G (o da H) su quelle due superficie. 



Consideriamo ora, sopra questa cp, il sistema delle linee 

 intersezioni di essa colle rimanenti (analoghe) superficie cp; si- 

 stema che sarà al piìi co^, e invariante rispetto al gruppo H. 

 Quali linee corrisponderanno a queste nel piano ti? Bisognerà 

 cercare in tt un sistema al più co^ di linee (non passanti, in 

 generale, per P) il quale sia invariante rispetto al gruppo H 

 (che opera su P in modo almeno oo^) ; ciascuna di queste linee 

 dovrà quindi essere invariante per almeno co^ operazioni di H 

 stesso, ossia per almeno oo^ trasformazioni proiettive di tt, per 

 le quali sia pure fisso il punto P. Tali linee, se irriducibili, non 

 potranno dunque essere che rette; e, se si spezzassero, potreb- 

 bero tutt'al pili spezzarsi in coppie di rette ; caso anche da 

 escludersi, perchè nel gruppo ( 00»^ cc'^) subordinato da H 

 in TT vi sono ancora infinite operazioni trasformanti l'una nel- 



Cj Da queste considerazioni segue già che il sistema co^ delle super- 

 ficie 9 è lineare — perchè contiene l'intero fascio individuato da due qua- 

 lunque di esse — , pm-chè però vi siano nel gruppo 6 infinite trasforma- 

 zioni che lascino fisso ogni punto del piano tt considerato. Risulterà in 

 seguito, dal fatto che il gruppo 6 deve essere 00 1», che questa condizione 

 è sempre soddisfatta. 



