GRUPPI CONTINUI PRIMITIVI DI TRASFORMAZIONI CREMONIANE,ECC. 491 



r altra due qualunque delle co* coppie di rette non passanti 

 per P (sicché non risulta invariante nessun sistema di dimen- 

 sione < o di tali linee). E poiché nel piano ir vi sono soltanto oo- 

 rette, cosi concludiamo che la superficie cp considerata è incon- 

 trata dalle rimanenti secondo sole oo^ linee diverse, formanti 

 (come le rette corrispondenti nel piano tt) una rete omaloidica. 



10. — Una qualunque superficie qp è dunque incontrata dalle 

 rimanenti secondo una rete omaloidica di curve. Di qui segue 

 immediatamente che tre qp generiche hanno una sola interse- 

 zione variabile, e che perciò le superficie cp formano un sistema 

 lineare omaloidico. 



Riferendo proiettivamente, in un modo qualsiasi, quest'ul- 

 timo sistema al sistema dei piani dello spazio S3, potremo rap- 

 presentare birazionalmente la nostra M3 (cfr. n° 5) sullo spazio, 

 in modo che al gruppo G, e quindi al gruppo cremoniano pro- 

 posto, corrisponda un gruppo proiettivo (di S3). Concludiamo 

 perciò : 



I gruppi cremoniani di questa categoria U si possono tutti 

 ridurre, con un'opportuna trasformazione birazionale, a gruppi 

 proiettivi. 



Rimane soltanto a vedere quali siano i gruppi proiettivi 

 di S3 soddisfacenti alle condizioni qui richieste (primitivi cioè, 

 e tali che^ fissando un punto, risulti fisso anche un piano, ma 

 non una retta, per questo punto). Esclusi i gruppi con almeno 

 un punto unito fisso, che sono certo imprimitivi: esclusi pure 

 tutti quelli con una linea una superficie invariante; sia che 

 questa linea superficie sia di ordine > 2, perchè per ogni 

 punto imposto come unito si avrebbe un cono invariante (pro- 

 iettante la linea, tangente alla superficie) di ordine > 2; sia 

 che si tratti invece di una retta (gruppo imprimitivo) di un 

 solo piano invariante (gruppi già incontrati nella categoria I); 

 non rimangono, com'è noto, che due altri casi soltanto (^): il 

 gruppo proiettivo totale 00 is, e il gruppo 00 10 di un complesso 

 lineare non speciale. Di questi, il secondo soltanto soddisfa alle 

 condizioni richieste (le oo^ rette del complesso essendo preci- 

 samente le linee y da noi considerate sulla varietà M3; varietà 



Cj LiE, Theorie der Transformationsgruppen, voi. Ili, p. 235. 



