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che qui non è altro che lo stesso spazio S3). Concludiamo per- 

 tanto ; 



Ogni gruppo continuo di trasformazioni cremoniane dello 

 spazio^ il quale sia 'primitivo e tale che, imposto come fisso un 

 punto generico, risulti pure fissa una giacitura uscente da questo 

 punto, contiene necessariamente dieci parametri, e si può tras- 

 formare hirazionalmente nel gruppo 00 ^^ delle collineazioni che mu- 

 tano in sé stesso un complesso lineare non speciale. 



Con un ragionamento un po' più lungo si potrebbe anche 

 prescindere dall' uso del teorema sui gruppi proiettivi di S3 , 

 del quale ci siamo valsi poc'anzi, facendo vedere direttamente 

 che si giunge a un gruppo trasformante in se una reciprocità 

 nulla, e quindi un complesso lineare di rette. Per brevità non 

 vi insistiamo. 



III. 



11, — Per completare lo studio dei gruppi cremoniani con- 

 tinui primitivi ci rimane a considerare il caso di un gruppo, 

 il quale, nell'intorno di un punto generico imposto come unito, 

 subordini le 00 ^ trasformazioni proiettive che lasciano fìsso un 

 cono quadrico di direzioni uscenti dal punto stesso (caso 4° 

 del n° 2). 



Assunti nell'intorno di questo punto generico P {x, y, z) i 

 differenziali dx, dij, dz come coordinate omogenee di una dire- 

 zione variabile, il cono quadrico invariante verrà rappresentato 

 da un'equazione omogenea di 2° grado negli stessi differenziali: 



aii dx^ -\- a22 dìf -\- = (1) 



i cui coefficienti a.^ varieranno col punto P, e saranno perciò 

 funzioni delle (sole) coordinate x, ij, z, tali che il determinante 

 I «rt I non risulti identicamente nullo. 



La (1) è dunque una equazione di Monge (^), che deve es- 

 sere trasformata in sé dal gruppo cremoniano proposto. Essa de- 

 finisce infatti una varietà 00 ^ di elementi lineari (" Linienele- 



(') LiE, Geometrie der Beruhrungstransformationen, p. 249. 



