GRUPPI CONTINUI PRIMITIVI DI TRASFORMAZIONI CREMONIANE, ECC. 493 



mente „) dello spazio, la quale è invariante rispetto ad ogni 

 operazione di questo gruppo. 



Ora, ad ogni equazione di Monge, purché non lineare nei 

 differenziali dx, dy, dz che in essa compaiono, corrisponde una 

 certa equazione alle derivate parziali del 1" ordine (anche non 

 lineare) : 



^{x,y,z,p,q) = 0) 



[essendo p =— ^^ ^=— ^|, la quale è soddisfatta da co'^ ele- 

 menti superficiali (" Flàchenelemente „) dello spazio, e precisa- 

 mente da quegli elementi x, y, z, p, q che per ogni punto x, y, z 

 inviluppano il cono definito dalla proposta equazione di Monge. 

 Alla nostra equazione (1) corrisponderebbe un' equazione 

 alle derivate parziali (di 1" ordine e 2" grado), il cui primo 

 membro sarebbe la funzione reciproca (o aggiunta) della forma 

 quadratica che compare nella (1): 



AuP^ + A,,2' + = (2) 



È chiaro che anche quesf equazione alle derivate parziali dovrà 

 essere trasformata in sé dal gruppo proposto. 



Infine, è pure noto che ad ogni equazione alle derivate 

 parziali (non lineare) sono collegate invariantivamente rispetto 

 ad ogni trasformazione puntuale (^) certe oo^ curve dette caratte- 

 ristiche, che sono particolari curve integrali della corrispondente 

 equazione di Monge, nel nostro caso dunque dell'equazione (1). 

 Sarà dunque invariante rispetto al gruppo cremoniano proposto 

 anche il complesso delle co^ caratteristiche dell' equazione alle de- 

 rivate parziali (2). È appunto sull'esistenza di un complesso di 

 linee invariante rispetto al gruppo proposto che riposano le 

 varie considerazioni che ora svilupperemo. 



Di queste oo^ curve ne passeranno oo^ per ogni punto dello 

 spazio, e ciascuna di esse avrà in questo punto una direzione 

 contenuta nel corrispondente cono (1); mentre, inversamente, 

 ogni direzione contenuta in questo cono elementare apparterrà 

 ad una caratteristica uscente da quel punto. — Veramente a 



(') Lie: op. ultima cit., p. 579. 



