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priori non si potrebbe escludere che ciascuna direzione di un 

 dato cono elementare appartenesse anche ad un numero > 1 

 di caratteristiche (descriventi però altrettante superficie sepa- 

 rate uscenti dal punto vertice di quel cono, perchè se no nella 

 serie ooi delle stesse caratteristiche si avrebbe un'involuzione 

 invariante, e non potrebbero perciò venir subordinate in essa che 

 sole col trasformazioni, e non già co 3). Tuttavia, partendo dal- 

 l'osservazione che vi sono certo nel gruppo infinite trasforma- 

 zioni che lasciano fissi tutti i punti di una caratteristica qual- 

 siasi, e quindi anche quelli di ogni altra eventualmente tangente 

 alla prima, si riesce facilmente ad escludere questo caso. 



12. Immaginiamo di nuovo costruita una varietà razionale 

 Mg di uno spazio S^, rappresentabile sopra Sg in modo che al 

 gruppo cremoniano proposto corrisponda su di essa un gruppo 

 proiettivo G. Sopra questa varietà sarà invariante rispetto a G 

 un complesso (sistema oo^) di linee t, corrispondenti alle ca- 

 ratteristiche dell'equazione (2). 



Fissato sulla Mg un punto generico P, risulterà anche fisso 

 il cono quadrico delle tangenti alle coi (.m-ye y passanti per 

 questo punto; cono che è contenuto nello spazio S3 ivi tangente 

 alla varietà Mg. Sopra questo cono verrà subordinato un gruppo 

 proiettivo, che dovrà permutarne le generatrici in tutti gli 00 ^ 

 modi possibili, e sarà perciò non integrabile. Come tale, esso 

 dovrà anche subordinare su ciascuna generatrice del cono, im- 

 posta come unita, almeno co^ trasformazioni diverse (perchè 

 così avviene in tutti i casi — che sono noti — di gruppi pro- 

 iettivi non integrabili sopra un cono). Altrettante trasforma- 

 zioni, col punto (generico) P come punto unito, si avranno quindi 

 anche sulla linea t tangente a questa generatrice in P stesso; 

 e perciò, complessivamente, su questa t verranno subordinate 

 da G (al variare di P) almeno co- trasformazioni proiettive. 



Le linee y, e quindi le caratteristiche dell'equazione alle de- 

 rivate parziali (2)^ sono dunque curve algebriche e razionali. 



Ciò premesso, ci converrà distinguere i due casi seguenti: 

 l*' Il gruppo subordinato da G sopra una curva t è pre- 

 cisamente oo2^ e ammette quindi sulla curva stessa un punto 

 unito fisso A; 



