GRUPPI CONTINUI PRIMITIVI DI TRASFORMAZIONI CKEMONIANE, ECC. 495 



2° Questo stesso gruppo è invece co^ (sicché, imposta 

 come fissa una curva t, non risulterà ancora fisso nessun punto 

 su di essa). 



Cominceremo dal primo caso (cfr, n' 13-16), al quale sarà 

 poi facile ricondurre il secondo (n° 17). 



E, quanto al primo caso, osserviamo subito che il punto A 

 che noi supponiamo risultare fisso sopra una qualsiasi curva y non 

 è un punto generico della varietà M3; e perciò, per effetto delle di- 

 verse trasformazioni del gruppo G, esso non potrà assumere che 

 al pili oo2 posizioni diverse. Infatti con tre sole condizioni noi 

 possiamo ottenere che sia fissa una curva t col punto A che vi 

 è contenuto ; mentre invece per fissare un punto generico e una 

 curva T qualsiasi passante per esso occorrono quattro condizioni. 



Noi possiamo anzi supporre che il punto A assuma in tutto 

 precisamente co- posizioni diverse (descriva cioè una certa su- 

 perficie F), perchè a questo caso possiamo sempre ridurci tras- 

 formando opportunamente la varietà M3. 



Si considerino ad es. le co^^ superficie luoghi rispettiva- 

 mente delle curve t uscenti dai singoli punti P della M3 pri- 

 mitiva; e si prenda come nuova M3 quella rappresentata dal 

 minimo sistema lineare (certo invariante) che contiene tali super- 

 ficie. (Questo sistema lineare è certo semplice, perchè, se appar- 

 tenesse a un'involuzione (invariante, di ordine >1), i punti con- 

 iugati di un punto qualunque P in questa involuzione dovrebbero 

 stare su una e quindi su ciascuna delle t uscenti da P stesso ; 

 sicché su ciascuna di queste curve si avrebbe pure un'involu- 

 zione invariante, e non potrebbero perciò venirvi subordinate oo^ 

 trasformazioni diverse). Sulla nuova M3 tutte le sezioni iper- 

 piane (0 almeno co^ fra queste, formanti una serie continua 

 e non contenuta in un sistema lineare inferiore) dovranno con- 

 tenere qualche punto A, sicché di questi punti ve ne saranno 

 almeno 00 1. E, se ve ne fossero soltanto 00 1 (aventi per luogo 

 una curva), quindi sopra ogni sezione iperpiana solo un numero 

 finito, bisognerebbe che le t uscenti da un dato punto P con- 

 corressero ancora in uno stesso punto A (di quella curva); e 

 allora i punti P corrispondenti a uno stesso A formerebbero 

 superficie costituenti un sistema d'imprimitività pel gruppo G. 

 Concludiamo perciò che sulla M3 così costruita i punti A avranno 

 certo per luogo una superficie. 



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