496 GINO FANO 



13. — Supponiamo dunque che vi sia nella M3 una super- 

 ficie F, invariante rispetto al gruppo G, e incontrata da ogni y in 

 un punto (A). Le 00 ^ curve t uscenti da un punto generico P 

 della varietà M3 incontreranno rispettivamente la F negli 00 1 

 punti di una curva p, la quale sarà invariante per tutte quelle 

 trasformazioni di G che lasciano fermo P. Su questa curva p 

 verranno subordinate, come nella serie delle t uscenti da P, 

 00^ trasformazioni (proiettive) diverse; le p sono dunque curve 

 algebriche e razionali (normali). — Variando P, varierà la 

 corrispondente curva j9, e assumerà in tutto cc^ posizioni di- 

 verse (se no le curve superficie luoghi di punti P corrispon- 

 denti a una stessa p costituirebbero un sistema d'imprimitività 

 pel gruppo G). Il gruppo (certamente transitivo) subordinato da G 

 sopra F dovrà trasformare in sé questo sistema cc^ di curve p. 



— D'altra parte questo gruppo (proiettivo) subordinato su F è 

 oloedricamente isomorfo (in senso gruppale) a G medesimo, e 

 quindi, al pari di G, almeno co" (perchè in G non vi può essere 

 che un numero finito di trasformazioni, le quali lascino fisso 

 ogni punto di F, e quindi ogni linea p). Ricordando pertanto 

 che un gruppo continuo di trasformazioni proiettive sopra una 

 superfìcie algebrica è sempre equivalente a un gruppo proiettivo 

 del piano, oppure sopra una quadrica di S3, sopra un cono 

 razionale normale di ordine n in S„+i, non sarà difficile rico- 

 noscere quali casi potranno qui presentarsi. 



E certo che il gruppo subordinato da G sopra F non può 

 essere equivalente a un gruppo di omografie piane, perchè alle 

 ( Go3) curve v dovrebbero corrispondere altrettante coniche, e 

 un gruppo almeno 00'', quindi 00'^ 00^ di omografie piane non 

 trasforma in sé nessun sistema 00=^ di coniche (irriducibili). 



Potrebbe invece questo gruppo ridursi al gruppo (continuo) 

 00 f delle trasformazioni proiettive di una quadrica di S3 ; e si 

 vede facilmente che alle curve p dovrebbero allora corrispon- 

 dere le sezioni piane (ossia le coniche) di questa quadrica. 



Supponiamo infine che il gruppo proiettivo subordinato 

 sopra F sia equivalente a un gruppo proiettivo sopra un cono 

 P di S„+i (m>2); dico che questo caso è possibile soltanto per n=2. 



— Anzitutto alle curve i? su F dovranno corrispondere su F" 

 curve razionali normali, dunque di ordine n w-j-l; anzi pre- 

 cisamente di ordine « (vale a dire sezioni iperpiane del cono), 



