GRUPPI CONTINUI PRIMITIVI DI TRASFORMAZIONI CREMONIANE, ECC. 497 



perchè se no sulle stesse curve non potrebbero venir subordi- 

 nate che (al più) oc- proietti vita trasformanti in se il cono f". 

 Di più, il sistema di queste oo^ curve C" — ovvero dei relativi 

 iperpiani S,, — è un sistema lineare; ciò segue immediatamente 

 dal fatto che nel gruppo, almeno co"^ da considerarsi su f" vi 

 sono almeno oo^ omologie (col centro nel vertice del cono), le 

 quali, applicate ad uno generico di quegli S„, gli fanno descri- 

 vere un sistema lineare co^, che dovrà necessariamente coinci- 

 dere col sistema invariante considerato. — Infine, essendo in- 

 variante un sistema lineare oo^ di spazi S„ in S„_i.i, sarà pure 

 invariante (per w > 3) lo spazio S„_3 base del sistema, e quindi 

 lo spazio S„_2 che proietta questo dal vertice del cono F" (vertice 

 che non sta in quell' S„_3, se no tutte le oo^ curve C" si spez- 

 zerebbero in gruppi di n generatrici). D'altra parte il nostro 

 gruppo proiettivo su f" non può lasciar fisso nessuno spazio (di 

 dimensione > 1) passante pel vertice di f" stesso (perchè se 

 no esso, e quindi G, risulterebbero integrabili); sarà quindi «=2 

 come avevamo affermato da principio. E alle curve 2> corrispon- 

 deranno precisamente le oo^ sezioni piane del cono quadrico T-. 

 Concludiamo perciò che il sistema delle curve p sopra F è 

 in ogni caso un sistema lineare oo^ di grado due, trasformabile 

 hirazionalmente nel sistema delle sezioni piane di una quadrica o 

 cono quadrico di S3. — Ricordando poi ancora che il gruppo G 

 deve essere oloedricamente isomorfo al gruppo da esso subor- 

 dinato sopra F, e quindi ancora a un gruppo proiettivo sopra 

 una quadrica cono quadrico di S3, si può aggiungere che 

 (limitatamente all'ipotesi 1^ del n" 12) il gruppo G è necessaria- 

 mente co "5 o 00^, e ha in ciascuno di questi casi composizioni 

 ben determinate. 



14. — Ad ogni curva p sulla superficie F corrisponde al- 

 meno un punto P della varietà M3, tale che le r uscenti da 

 questo punto incontrano F sopra quella p; ma potrebbe anche 

 darsi che ad una stessa curva p corrispondesse un numero 

 finito n>l di punti P. Ove ciò avvenga, ne risulterà definita 

 sulla varietà M^ un'involuzione di punti di ordine n, invariante 

 rispetto al gruppo G, e tale che a due pimti coniugati in essa 

 -corrisponderà sempre una stessa curva p sopra F, 



Alla considerazione di quest' involuzione si collega quella 



