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delle superficie (che indicheremo con a) luoghi delle oo^ curve t 

 uscenti rispettivamente dai singoli punti di F. Fra queste su- 

 perfìcie, complessivamente in numero di cc^, ve ne sono oc^ che 

 passano per un punto qualunque P della varietà M3: quelle, e 

 quelle sole, che escono dai punti A della linea p corrispondente 

 al punto P considerato. Ora, se nella M3 esiste effettivamente 

 un'involuzione invariante I„ del tipo dianzi considerato (essendo 

 w>l), queste stesse oo^ superficie a passanti per P dovranno 

 anche contenere gli n — 1 punti coniugati di P nella detta in- 

 voluzione (mentre invece nel caso nr=\ non passerebbero per 

 nessun altro punto variabile con P). Il sistema co 2 delle su- 

 perficie a apparterrà dunque all'evoluzione invariante I„ (supposta 

 esistente). 



Ci converrà esaminare separatamente i due casi di n=l 

 e w>l; e cominciamo dal primo. 



15. — Nel caso n=l abbiamo già detto che le superficie a 

 passanti per un punto generico della varietà M3 non passano 

 in conseguenza per nessun altro punto variabile col primo. — 

 Possiamo aggiungere che per due punti generici della M3 pas- 

 sano due superficie a (uscenti rispettivamente dai punti A inter- 

 sezioni delle due curve p che corrispondono ai punti conside- 

 rati). Il sistema ( oo^ ) delle a è dunque quadratico, e perciò 

 contenuto in un sistema lineare 00 ^^ che sarà pure invariante 

 rispetto a G. Infine questo sistema lineare cc'^ e omaloidico, 

 perchè tre superficie a generiche (e tanto basta) hanno una sola 

 intersezione variabile: infatti alle loro intersezioni devono cor- 

 rispondere sopra F altrettante curve p distinte e passanti pei 

 tre punti A da cui escono le stesse a ; e di tali curve p non 

 ve ne ha che una. 



L'esistenza di questo sistema lineare omaloidico invariante 

 permette di ridurre il gruppo G operante sulla nostra M3, e 

 quindi il gruppo cremoniano di S3 a cui G si supponeva equi- 

 valente, a un gruppo proiettivo anche di S3. Alle superficie a 

 corrisponderanno oo^ piani formanti un inviluppo di 2=* classe; 

 dunque il sistema dei piani tangenti a una quadrica, non dege- 

 nere, anche semplicemente degenere come inviluppo. Nel 

 primo caso avremo il gruppo proiettivo (continuo) 00" di ima 

 quadrica non degenere; nel secondo caso, un gruppo proiettivo 



